Задача 3.1 #4.ii из Topology Without Tears

[lebesgspacine]

Найти замыкание множества $\mathbb P$ всех иррациональных чисел в $\mathbb R$.

Я думаю, что $\mathbb P$ всюду плотно, поэтому стал доказывать, что $\bar{\mathbb P} = \mathbb R$.

Вот попытка доказательства (от противного):

Предположим $\bar{\mathbb P} \not= \mathbb R$. Тогда существует точка $x \in \mathbb R \setminus \bar{\mathbb P}$. Так как $x$ не является элементом $\mathbb P^\prime$, существует открытое множество $U \ni x$, не содержащее иррациональных чисел. Но любое открытое множество в $\mathbb R$ содержит иррациональные числа. Это противоречие. Поэтому $\bar{\mathbb P} = \mathbb R$.

Данное доказательство является ли правильным и достаточно строгим?

[mihaild]

lebesgspacine в сообщении #1706061 писал(а):

Но любое открытое множество в $\mathbb R$ содержит иррациональные числа

Это утверждение нужно доказать.

[lebesgspacine]

mihaild в сообщении #1706068 писал(а):

lebesgspacine в сообщении #1706061 писал(а):

Но любое открытое множество в $\mathbb R$ содержит иррациональные числа

Это утверждение нужно доказать.

Так как любой открытый интервал $(a, b)$ в $\mathbb R$, где ($a, b \in \mathbb R$ и $a < b$) содержит иррациональные числа и любое открытое множество в $\mathbb R$ является произвольным объединением открытых интервалов, любое открытое множество в $\mathbb R$ содержит иррациональные числа. Достаточно или придётся доказывать, что любой открытый интервал содержит иррациональные числа?

[mihaild]

lebesgspacine в сообщении #1706723 писал(а):

Достаточно или придётся доказывать, что любой открытый интервал содержит иррациональные числа?

Это тоже надо доказывать (если не считается уже известным).

[EminentVictorians]

lebesgspacine в сообщении #1706723 писал(а):

любое открытое множество в $\mathbb R$ является произвольным объединением открытых интервалов

Тогда и это тоже То есть во-первых, что все интервалы образуют базу стандартной топологии $\mathbb R$, и во-вторых что любое открытое множество представимо в виде объединения элементов из базы (вторая часть совсем простая - по определению базы). Хотя у вас могут быть и другие определения.

[lebesgspacine]

mihaild в сообщении #1706724 писал(а):

lebesgspacine в сообщении #1706723 писал(а):

Достаточно или придётся доказывать, что любой открытый интервал содержит иррациональные числа?

Это тоже надо доказывать (если не считается уже известным).

Вроде бы считается известным. В примере 3.1.12 свойство о том, что в каждом интервале вида $(a, b)$ содержится рациональное число используется без доказательства и я в книге не находил требования подобное доказать. Я не очень то культурен и могу ошибаться по поводу "известности".

EminentVictorians в сообщении #1706727 писал(а):

lebesgspacine в сообщении #1706723 писал(а):

любое открытое множество в $\mathbb R$ является произвольным объединением открытых интервалов

Тогда и это тоже То есть во-первых, что все интервалы образуют базу стандартной топологии $\mathbb R$, и во-вторых что любое открытое множество представимо в виде объединения элементов из базы (вторая часть совсем простая - по определению базы). Хотя у вас могут быть и другие определения.

Да так и есть. Определение базы такое же.

[mihaild]

lebesgspacine в сообщении #1706752 писал(а):

Я не очень то культурен и могу ошибаться по поводу "известности"

Это вопрос к курсу, а не к математике вообще. В разных курсах утверждения могут доказываться в разном порядке (и часто в одном курсе А может выводиться из Б, а в другом Б из А).
Как в этой книге вообще определяются вещественные числа?

lebesgspacine в сообщении #1706752 писал(а):

В примере 3.1.12 свойство о том, что в каждом интервале вида $(a, b)$ содержится рациональное число используется без доказательства

Это доказывается из определения вещественных чисел. Но что есть не только рациональное, но и иррациональное - это отдельное свойство.
Доказывается легко (самое сложное - доказать, что вообще хоть одно иррациональное число существует), и если Вам сходу не очевидно, как именно - ИМХО полезно доказать.