Почему без аксиомы индукции нельзя построить натуральные

[Hadzebuge]

Здравствуйте
Почему нельзя без аксиомы индукции нельзя построить натуральные числа? Ведь если ее убрать, то вроде как ничего и не изменится. Но тем не менее, в аксиомах Пеано она присутствует.

[dgwuqtj]

Давайте по порядку. Вы берёте аксиомы Пеано, то есть формальную арифметику (1 порядка, допустим). Что в ней означает фраза "построить числа"?

[Hadzebuge]

dgwuqtj в сообщении #1705614 писал(а):

Давайте по порядку. Вы берёте аксиомы Пеано, то есть формальную арифметику (1 порядка, допустим). Что в ней означает фраза "построить числа"?

"Построить числа" = задать систему аксиом для какого-то множества, которая будет непротиворечивой и определять какой-то класс объектов. Под "классом объектов" я имею в виду все такие множества, удовлетворяющие данным аксиомам. Я так понимаю это еще называют изоморфными реализациями какой-то модели (из Зорича узнал).

[dgwuqtj]

Тогда речь идёт про аксиому индукции второго порядка, но не суть. Если её убрать, есть такая альтернативная модель (т.е. множество, удовлетворяющее аксиомам): $M = \mathbb N \sqcup \mathbb Z$. Это если у вас обычные 5 аксиом про операцию "прибавление единицы", а если хочется ещё и сложение с умножением, то надо думать.

[Hadzebuge]

dgwuqtj в сообщении #1705619 писал(а):

Тогда речь идёт про аксиому индукции второго порядка, но не суть. Если её убрать, есть такая альтернативная модель (т.е. множество, удовлетворяющее аксиомам): $M = \mathbb N \sqcup \mathbb Z$. Это если у вас обычные 5 аксиом про операцию "прибавление единицы", а если хочется ещё и сложение с умножением, то надо думать.

Я в этой теме совсем ничего не понимаю (в матлогике). Можете, пожалуйста, на пальцах пояснить, про что вообще речь? Ну или дать ссылки на источники, где +- кратенько про это можно узнать?

[dgwuqtj]

Вот у вас есть формальная теория: символ $S$ для операции, символ $Z$ для константы и аксиомы $\forall n, m\enskip S(n) = S(m) \Rightarrow n = m$, $\forall n \neq Z \enskip \exists m \enskip S(m) = n$, $\forall n \enskip S(n) \neq Z$, ну и индукция. Моделью всего этого называется множество $M$ с отображением $s \colon M \to M$ и элементом $0 \in M$, для которых выполняются те аксиомы, если переменные понимать как элементы $M$, вместо формального символа $S$ подставить конкретную функцию $s$, а вместо формального символа $Z$ подставить конкретный элемент $0$. Если вы натуральные числа нумеруете с единицы, то всё то же самое, только вместо $0$ пишется $1$.

Конкретно для $M = \mathbb N \sqcup \mathbb Z$ возьмём $s(x) = x + 1$ на обоих компонентах и $0 \in \mathbb N$. Все аксиомы, кроме индукции, выполнены: отображение $s$ инъективно и прообразы есть в точности у всех элементов, кроме нуля.

[Hadzebuge]

Вроде что-то понял. Спасибо большое!

[Mikhail_K]

Можно объяснить так. Интуитивный смысл аксиомы индукции - в том, что до любого натурального числа можно досчитать, начиная с единицы. То есть если мы будем называть натуральные числа одно за другим: $1,2,3,4,5,\ldots$ - то рано или поздно дойдём до любого натурального числа.

Именно это позволяет утверждать, что, если в каком-то множестве содержится единица и вместе с каждым числом содержится и следующее, то там содержатся все натуральные числа (потому что если там лежит $1$, то и $2$, а если $2$, то и $3$, и так далее - и вот это "и так далее" охватывает все натуральные числа). Или, равносильно, если какое-нибудь утверждение верно для $n=1$ (база индукции), а из его справедливости для $n$ следует справедливость для $n+1$ (шаг индукции), то оно справедливо для любых натуральных номеров (потому что, опять же, тогда получается, что если оно справедливо для $n=1$, то и для $n=2$, а если для $n=2$, то и для $n=3$, и так далее - и так можно досчитать до любого натурального числа).

-- 13.10.2025, 10:14 --

Hadzebuge в сообщении #1705612 писал(а):

Ведь если ее убрать, то вроде как ничего и не изменится. Но тем не менее, в аксиомах Пеано она присутствует.

Напротив, практически в любом доказательстве при построении арифметики на основе аксиом Пеано эта аксиома используется. Фактически каждый раз, когда нужно доказать справедливость чего-нибудь для любых натуральных чисел. См., например:
Демидов. Основания арифметики

[gefest_md]

Hadzebuge в сообщении #1705612 писал(а):

Почему без аксиомы индукции нельзя построить натуральные числа?

Без аксиомы индукции нельзя построить множество натуральных чисел с привычными свойствами потому, что: 1. Аксиома индукции независима от остальных аксиом натурального ряда (Новиков П. С., Элементы математической логики, второе издание, стр. 153); 2. Аксиома индукции равносильна более привычному свойству о том, что в каждом непустом множестве натуральных чисел существует наименьший элемент (D. Velleman, How to prove it: a structured approach, second edition, pg. 294; R. Maddox, Mathematical Thinking and Writing: A Transition to Higher Mathematics, 2002 edition, pg. 62).

[Hadzebuge]

А вот еще один вопрос назрел: почему в аксиомах натуральных чисел ни слова не сказано о сложении и умножении? Это очень странно. Почему операции на натуральных определяются отдельно? Или операции уже зашиты в аксиомы?

[dgwuqtj]

С точки зрения математической логики операции в аксиомы как раз не зашиты. Без них аксиомы пишут, чтобы доказывать единственность натуральных чисел и не отвлекаться на посторонние вещи.

А когда нужны натуральные числа с операциями, добавляют символы $A$ и $M$ для бинарных операций (сложения и умножения) с аксиомами $\forall n \enskip A(n, Z) = n$, $\forall n, m \enskip A(n, S(m)) = S(A(n, m))$, $\forall n \enskip M(n, Z) = Z$, $\forall n, m \enskip M(n, S(m)) = A(M(n, m), n)$. Свойства типа коммутативности $A(n, m) = A(m, n)$ доказываются как раз по индукции. Можно было бы добавить ещё символы для вычитания, деления с остатком, сравнения, возведения в степень и так далее, но они уже выражаются через сложение и умножение.

[Hadzebuge]

Еще раз благодарю!

-- 13.10.2025, 17:07 --

Mikhail_K в сообщении #1705691 писал(а):

Можно объяснить так. Интуитивный смысл аксиомы индукции - в том, что до любого натурального числа можно досчитать, начиная с единицы. То есть если мы будем называть натуральные числа одно за другим: $1,2,3,4,5,\ldots$ - то рано или поздно дойдём до любого натурального числа.

Именно это позволяет утверждать, что, если в каком-то множестве содержится единица и вместе с каждым числом содержится и следующее, то там содержатся все натуральные числа (потому что если там лежит $1$, то и $2$, а если $2$, то и $3$, и так далее - и вот это "и так далее" охватывает все натуральные числа). Или, равносильно, если какое-нибудь утверждение верно для $n=1$ (база индукции), а из его справедливости для $n$ следует справедливость для $n+1$ (шаг индукции), то оно справедливо для любых натуральных номеров (потому что, опять же, тогда получается, что если оно справедливо для $n=1$, то и для $n=2$, а если для $n=2$, то и для $n=3$, и так далее - и так можно досчитать до любого натурального числа).

-- 13.10.2025, 10:14 --

Hadzebuge в сообщении #1705612 писал(а):

Ведь если ее убрать, то вроде как ничего и не изменится. Но тем не менее, в аксиомах Пеано она присутствует.

Напротив, практически в любом доказательстве при построении арифметики на основе аксиом Пеано эта аксиома используется. Фактически каждый раз, когда нужно доказать справедливость чего-нибудь для любых натуральных чисел. См., например:
Демидов. Основания арифметики

И вам тоже спасибо!

gefest_md в сообщении #1705724 писал(а):

Hadzebuge в сообщении #1705612 писал(а):

Почему без аксиомы индукции нельзя построить натуральные числа?

Без аксиомы индукции нельзя построить множество натуральных чисел с привычными свойствами потому, что: 1. Аксиома индукции независима от остальных аксиом натурального ряда (Новиков П. С., Элементы математической логики, второе издание, стр. 153); 2. Аксиома индукции равносильна более привычному свойству о том, что в каждом непустом множестве натуральных чисел существует наименьший элемент (D. Velleman, How to prove it: a structured approach, second edition, pg. 294; R. Maddox, Mathematical Thinking and Writing: A Transition to Higher Mathematics, 2002 edition, pg. 62).

И вам спасибо!

[Booker48]

Hadzebuge
Посмотрите статью (по ссылке загружается pdf-ка, но можно и просто найти её в сети) В. Успенского "Семь размышлений на темы философии математики". В части, касающейся именно аксиом натурального ряда. Статья, скорее, философская, но автор - известный математик-логик.

[Hadzebuge]

Booker48 в сообщении #1705750 писал(а):

Hadzebuge
Посмотрите статью (по ссылке загружается pdf-ка, но можно и просто найти её в сети) В. Успенского "Семь размышлений на темы философии математики". В части, касающейся именно аксиом натурального ряда. Статья, скорее, философская, но автор - известный математик-логик.

Ок
Спасибо