-64 вершины куба и почти эйлерова характеристика

[Altenter]

Здравствуйте.
Рассмотрим куб, сложенный из кубиковплотнейшим образом. Каждый кубик укладывается со своими ребрами гранями и вершинами. В узле, внутри куба сходятся 8 кубиков, а в узлах, которые являются вершинами кубика, 8×8=64 вершины. Ну, вынем мысленно кубик вместе с его вершинами из этой плотнейшей упаковки. Окажется, что к месту, где он должен быть, примыкает 56 вершин от соседних кубиков, а к месту каждой из его 8-ми вершин 56/8=7. Т.е. в плотнейшей кубической упаковке у вершины куба 7 соседей, что в принципе было и так очевидно и я зря забивал вам голову.

Теперь возьмем выдернем отдельный кубик, вместе с его ребрами, вершинами и гранями и рассмотрим его почти эйлерову характеристику. Для этого придется раздеть куб. Вот мы снимем с него 6 граней, но вместе с ними снимутся и 6×4=24 ребра. Но каждое ребро имеет по 2 итого 48 вершины и 6 граней имеют по 4 вершины 6×4=24. Итого, снимая грани, мы стянули с кубика и 24 ребра и 24+48=72 вершины. Но нам надо вернуть ему 12 ребер, чтобы у него их не осталось, но вместе с 12-ю ребрами ему вернутся и 24 вершины. Итого напротив нас кубик без граней и ребер лишь в одних трусах с восемью вершинами, а у нас -72+24=-48 его вершин.
И вот этот кубик с 8 вершинами получается отрицательный персонаж, т.к. равен он вместе со своими 8 вершинами - 48-ми вершинам. Ну чтож, снимем с кубика и трусы, вычтя из обеих частей равенства по 8 вершин и тут о чудо, с одной стороны равенства голый кубик, а с другой (-56) вершин. Но у кубика - то всего 8 вершин, а тут мы с него сняли 56. 56/8=7. Т.е. наш кубик оказался воришкой и каждая его вершина украла по 7 вершин от 7 соседей, пока находилась в плотной упаковке с ними.

Ну чтож, попробуем вывести на чистую воду и других, более матерых преступников, которые тоже промышляют воровством, но в плотную упаковку никогда не укладываются. Тетраэдр, не решена проблема его плотнейшей упаковки, поэтому он гуляет на свободе. Посмотрим что у него есть из одежды. Так, 4 грани, да в каждой из низ по 3 ребра итого 4×3=12 ребер, да в каждом ребре 2 вершины итого 24 вершины и в каждой из 4-х граней по 3 итого 12, т.е. сняли 4 грани, 12 ребер и 36 вершин. Граней стало у него 0, а вот по ребрам прошлись не слабо и переборщили, надо бы вернуть 6 ребер, чтобы их у него не осталось. Но вместе с ними вернется и 12 вершин. Итого тетраэдр в одних трусах с 4-мя вершинами равен -36+12=-24 вершинам. Ну вычтем как и с кубом из обеих частей равенства трусы и получим, что голый тетраэдр равен -28 вершинам. Т.е. и он у нас отрицательный персонаж. Поделим 28 на количество его голых вершин и получим, что на каждую свою вершину он тоже украл по вершине у 7-ми соседей. Т.е. в наиплотнейшей упаковке у вершины тетраэдра, как и у куба было тоже 7 соседей. Это мы знаем точно, потому, что если было бы больше, он украл бы у всех них вершину. А если было бы меньше, то мы бы и не обнаружили у него 28 ворованных вершин.
Ну, или по крайней мере тетраэдр в плотнейшей упаковке украл 28 вершин на свои 4 вершины.

И кстати, кубик, если у него конфисковать его вершины вместе с ворованными будет иметь (-64) вершины, а тетраэдр (-32 ).
Т.е. у этих плутишек под ворованными трусами одеты еще и свои. И только сняв 64 трусов с куба и 32 с тетраэдра мы увидим их наготу.