Последовательность египетских дробей

[Naf2000]

Верно ли, что для любого положительного целого $n_{0}$ последовательность $S_{k}$ стабилизируется значением 1
$S_{k}=\left\{ \begin{array}{cl} \frac{1}{k}& \text{, когда} \ k=n_{0} \\ S_{k-1}+\frac{1}{k}& \text{, когда} \ S_{k-1}+\frac{1}{k}\le 1 \\ S_{k-1} & \text{иначе} \end{array} \right. \\ \text{для всех} \ k\ge n_{0}$

[gris]

если чисто практически посмотреть, то стабилизац наступает не очень скоро
n=1 k=1
n=2 k=6
n=3 k=20
n=4 k=57960
n=6 k=5765760

[Null]

(Это известный факт.)

После того как упремся в 1($S_{k-1}+\frac{1}{k}\ge1$) первый раз, числитель $1-S_{k}$ начнет постепенно убывать.

[maxal]

См. A069257 и A326711.