Домино и конь: хрупкая связность

[gipokrat]

На одном из занятий математического кружка восьмиклассникам предлагалась следующая задача:

Цитата:

Какое наибольшее количество доминошек, занимающих две клетки, можно положить на шахматную доску, чтобы для любых двух доминошек конь мог сделать ход с какой-то клетки первой на какую-то клетку второй?

У меня больше шести доминошек никак не получается, вот пример с шестью:

(A3, B3); (B1, B2); (C1, D1); (C2, C3); (D2, E2); (D3, D4).

Однако правильный ответ на эту задачу как минимум удивляет, он равен... 32:
https://mmmf.msu.ru/archive/20112012/z8/8.html (раздел "Шахматные задачи", задача на 30 баллов).

В каком именно месте меня унесло не туда?
Пожалуйста, помогите решить.
Заранее благодарю!

[Mihr]

Очевидно, что 32 доминошки заполнят всю доску. И конь не сможет достичь с любой из них любую другую одним ходом. Тут ошибка или в условии, или в ответе. Не исключено, что имеется в виду всего-навсего: любые две доминошки будут связаны между собой цепочкой ходов коня (а не одним ходом). Тогда ответ банален и действительно 32.

[gipokrat]

Mihr
А как доказать, что 7 доминошек не получится, если всё-таки имеется в виду один ход коня?

[Mihr]

gipokrat, не знаю. Единственное, что сразу бросается в глаза: расстояние между центрами некоторых клеток любой пары доминошек хоть по вертикали, хоть по горизонтали не может быть больше двух. Отсюда следует, что такая конструкция должна покрываться квадратом со стороной 3 (в том смысле, что квадрат должен покрывать хотя бы одно поле каждой доминошки). Таким образом, доминошек в любом случае не больше восьми (центральную клетку квадрата связать с девятой доминошкой, очевидно, невозможно). Дальше нужны или более совершенные рассуждения или тупой перебор вариантов. С ходу ничего лучшего предложить не могу

-- 06.10.2025, 01:12 --

Кажется, додумал. Назовём вышеупомянутый квадрат покрывающим квадратом. Ясно, что ни одна пара доминошек не может быть ориентирована вдоль общей вертикали или общей горизонтали. Поэтому в покрывающий квадрат можно уложить лишь три вертикальные доминошки и три горизонтальные. Больше никак.
Вот на рисунке: три горизонтально ориентированные доминошки и три ориентированы вертикально. Их покрывает красный квадрат.

[gipokrat]

Mihr
Большое спасибо!