Аналог эйлеровой характеристики, почему так?

[Altenter]

Просто ради интереса предположил, что многогранники в любых измерениях должны обладать нечто подобным эйлеровой характеристике и вот что из этого вышло:
отрезок: 2-1=1
квадрат: 4-4+1=1
куб: 8-12+6-1=1
тессеракт: 16-32+24-8+1=1
пентеракт: 32-80+80-40+10-1=1
гексеракт: 64-192+240-160+60-12+1=1
гептеракт: 128-448+672-560+280-84+14-1=1

треугольник: 3-3+1=1
тетраэдр: 4-6+4-1=1
гексакросс: 12-60+160-240+192-64+1=1

Как это можно объяснить?

[dgwuqtj]

Берёте книжку по алгебраической топологии, там аккуратно определяется эйлерова характеристика в общем случае. Конкретно ваши формулы — это эйлеровы характеристики шаров разных размерностей (с какими-то клеточными разбиениями), и они все совпадают, потому что все шары гомотопически эквивалентны точке.

[Altenter]

dgwuqtj в сообщении #1704216 писал(а):

Берёте книжку по алгебраической топологии, там аккуратно определяется эйлерова характеристика в общем случае. Конкретно ваши формулы — это эйлеровы характеристики шаров разных размерностей (с какими-то клеточными разбиениями), и они все совпадают, потому что все шары гомотопически эквивалентны точке.

Спасибо за Ваш ответ. И у меня есть еще один вопрос или даже просьба, косвенно связанная с этой темой, но я не знаю, следует ли для этого открывать новую тему или можно задать его здесь. Поэтому прошу меня простить, если задал его не там:

Мне пришла уже давно такая идея, проверка которой требует времени и больших усилий, но может быть здесь участники смогут с высоты своих знаний оценить перспективы этой идеи и стоит этим вообще заниматься или нет.

Суть: Хотим доказать ВТФ 3, используя Эйлерову характеристику. Каждый из суммируемых кубов представим в виде кубиков единичного объема. Каждый из суммируемых кубов и результирующий куб имеют структуру из единичных кубиков: у них по 4 вида вершин, по 6 видов ребер, по 6 видов граней и по 4 вида объемов, т.е. всего 20 видов 0,1,2,3 единичных граней. Например вершин у большого куба 8 и это единичные вершины, но есть еще на ребрах вершины малениких кубиков, которые могут быть также единичными, если мы вырвем кубик из куба, в одной точке ребра соединяются вершины 2-х кубиков, т.е. это двойные вершины, внутри грани куба вершины кубиков уже четверные, а внутри объема - восьмерные. Аналогично 6 видов единичных ребер :
1. при вершине большого куба
2. на его ребре, не касаясь вершины
3. на его грани, касаясь ребра
4. на его грани не касаясь ребра
5. в его объеме касаясь грани
6. в его объеме не касаясь грани

Также есть 6 видов граней и 4 вида объемов, суть в том, что количество каждого вида их этих 20 элементов определяется размером стороны большого куба и это количество определяет структуру куба. Также существует конечный набор преобразований одних элементов в другие, причем при преобразовании одного элемента меняется и количество других элементов, например вырвем из большого куба единичный кубик при его вершине, у нас с одной стороны возникнет кубик с 8-ю единичными вершинами, но наш большой куб потеряет одну восьмерную вершину, но 3 вершины, которые ранее были двойными, станут единичными, а та, что была восьмирной- станет семирной. она преобразуется в 7-ми рную, 3 четверных станут тройными. Количество ребер каждого вида тоже изменится и уже мы можем сказать, только по нарушению структуры куба, что это не куб. Аналогично можно добалять разными способами кубики и наблюдать за изменениями структуры получающегося нового многогранника.
И, может быть, на что я очень надеюсь, можно увидеть и доказать, что складывая структуры 2-х кубов нельзя получить структуру куба. И тогда можно переходить к пространствам высших размерностей.

И вот сам вопрос: есть ли смысл этим заморачиваться или же очевидно, что это тупик???

Можно сходу сказать, что если нельзя сложить кубики так, чтобы не получилось тройных, пятерных и семирных вершин, то мы не можем получить не то, что куба, но даже параллелепипеда.

Спасибо.

[Booker48]

Altenter в сообщении #1704320 писал(а):

Можно сходу сказать, что если нельзя сложить кубики так, чтобы не получилось тройных, пятерных и семирных вершин, то мы не можем получить не то, что куба, но даже параллелепипеда.

Как это понимать? Из кубиков с длинами сторон 3 и 5 можно складывать очень разные параллелепипеды.

[Null]

Altenter в сообщении #1704320 писал(а):

И вот сам вопрос: есть ли смысл этим заморачиваться или же очевидно, что это тупик???

Все сведется к равенству количества кубиков, т.е. к тому с чего начинали.

[Altenter]

Null в сообщении #1704329 писал(а):

Все сведется к равенству количества кубиков, т.е. к тому с чего начинали

Начинать будем с того, что складывать из 2 кубов третий. И смотреть, будет ли его структура соответствовать кубу.

-- 03.10.2025, 13:41 --

Booker48 в сообщении #1704328 писал(а):

Как это понимать? Из кубиков с длинами сторон 3 и 5 можно складывать очень разные параллелепипеды.

Складываемые кубы состоят из единичных кубиков.

-- 03.10.2025, 13:50 --

Рассмотрим кубы со сторонами $a=3$ и $b=4$, сложенные из единичных кубиков. Вот у каждого из них есть по 8 единичных вершин, по $(n-1)\cdot 12$ вершин второго типа в которых сходится по 2 единичных кубика, по $6(n-1)^2$ вершин третьего типа в которых сходится по 4 единичных кубика и $ (n-1)^3$ вершин четвертого типа в которых сходится по 8 единичных кубиков, где n - сторона куба.
Далее по по 24 единичных ребра первого типа, по $12(n-2)$ ребер второго типа, по $24(n-2)$ ребер третьего типа, по $12(n-2)(n-1)$ четвертого типа и т.д. Это должно выполняться и для результирующего кубика.

[Null]

При сборке тип вершины может поменяться. Но если вы это аккуратно учтете, у вас получиться равенство $a^3+b^3=c^3$ - ни какой новой информации.

[Altenter]

Null в сообщении #1704338 писал(а):

При сборке тип вершины может поменяться. Но если вы это аккуратно учтете, у вас получиться равенство $a^3+b^3=c^3$ - ни какой новой информации.

Возможно так и будет, я не знаю, а это можно как -то обосновать? Ведь пока обоснования нет - надежда теплится, что это не так. Элементы 2-х кубов необходимо будет уложить в куб их количество привязано к длине ребра и они преобразуются по определенным правилам. Пока достоверно только это.

[Null]

Altenter в сообщении #1704340 писал(а):

а это можно как -то обосновать?

Если количества кубиков равны - собрать можно, если не равны нельзя. Других ограничений просто нет.

[Altenter]

Null в сообщении #1704341 писал(а):

Altenter в сообщении #1704340 писал(а):

а это можно как -то обосновать?

Если количества кубиков равны - собрать можно, если не равны нельзя. Других ограничений просто нет.

Так задача в том, чтобы полученную от двух кубов структуру путем преобразований привести к структуре куба. Может быть это невозможно сделать, применяя все преобразования и всегда будет например вылезать вершина с индексом 3, 5, 6 или 7, а разрешены вершины только 1,2,4,8. Ведь ВТФ доказана и именно это и должно происходить И вопрос в том, можно ли это показать опираясь на уравнения, правила преобразования элементов и рассматриваемую структуру или это тупик.

Грубо говоря у нас есть 20 видов запчастей от 2-х кубов, некоторые из которых мы можем переделывать друг в друга и есть 20 условий, которым должен соответствовать результирующий куб, задача в том, чтобы показать, что из этой кучи запчастей путем разрешенных преобразований нельзя уложить все эти запчасти в куб. Т.к. всегла будкт появляться либо лишние запчасти, либо запчастей будет недоставать, причем когда появляются лишние запчасти или их недостает всегда в получаемой фигуре появляется запчасти, которые не принадлежат к видам изначального набора. Т.е. возникают новые виды запчастей, которые говорят о том, что полученная фигура - не куб, хотя мы и пользовались разрешенными преобразованиями.

[Altenter]

Либо соотношение между допустимыми запчастями не будет соответствовать кубу и тогда мы с уверенностью будем говорить, что получили прямоугольный параллелипипед.