сравнение с целой частью n * log(n)

[maxal]

Докажите, что решения сравнения

$$\left\lfloor n \log(n) \right\rfloor \equiv 0 \pmod n$$

в целых положительных $n$ даются формулой $n = \left\lceil e^k \right\rceil$, $k=0,1,2,\dots$.

[Null]

Проблемы с тем чтобы доказать что все $n = \left\lceil e^k \right\rceil$ подходят, что делать если $\left\lceil e^k \right\rceil \approx e^k+1$?

[RIP]

Равенство $\lfloor n\ln n\rfloor=nk$ равносильно $k\leqslant\ln n<k+\frac{1}{n}$. Поскольку функция $f(x)=\ln x-\frac{1}{x}$ возрастает, причём

$$f(\mathrm{e}^k+1)=k-\ln\left(1-\frac{1}{\mathrm{e}^k+1}\right)-\frac{1}{\mathrm{e}^k+1}>k,$$

то $n<\mathrm{e}^k+1$, так что $n=\lceil\mathrm{e}^k\rceil$.

Вряд ли удастся доказать, что всякое $n=\lceil\mathrm{e}^k\rceil$ подходит. Решение уравнения $f(x)=k$ имеет асимптотику

$$x=\mathrm{e}^k+1-\tfrac{1}{2}\,\mathrm{e}^{-k}+\mathcal{O}\left(\mathrm{e}^{-2k}\right),$$

поэтому нужно исключить возможность

$$0<\mathrm{e}^k-(n-1)<\left(\tfrac{1}{2}+o(1)\right)\mathrm{e}^{-k}.$$

Наилучший известный мне результат — это оценка Малера

$$\lvert\mathrm{e}^k-l\rvert>k^{-33k},\quad k\geqslant k_0.$$