Две задачи на деление плоскости, заполненной точками прямой

[kinoman84]

Shadow

Цитата:

Да, еще несколько таких условий $k \ne$. А все остальное можно.

Это нужно знать точные координаты, данное решение для меня кажется нереализуемым.

Цитата:

Просто нужно провести прямую $y=C$ (параллельную оси абсцисс), где $C$ достаточно большое, или маленькое. (Не работает при счетном множетстве точек, но при конечном - вполне)

Тут, к сожалению, не понял. Я имел ввиду, что если мы с каждой точки опустили перпендикуляр на произвольно выбранную прямую, то прямая, перпендикулярная исходной прямой, лежащая между двумя любыми соседними перпендикулярами, не будет касаться ни одной точки. Верно это?

[Shadow]

kinoman84 в сообщении #1703865 писал(а):

Это нужно знать точные координаты

Не нужно, достаточно знать, что их конечное число, а $k$ может принимать бесконечное число значений.

kinoman84 в сообщении #1703865 писал(а):

Я имел ввиду, что если мы с каждой точки опустили перпендикуляр на произвольно выбранную прямую

Давайте проще (хотя куда там). Вы согласны, что все точки, если их конечное число, вмещаются в некоторый квадрат...или прямоугольник, или окружность. Так можно ли провести прямую, котороя вообще не касается этого квадрата...или прямоуголькика.

[Евгений Машеров]

kinoman84 в сообщении #1703836 писал(а):

Тут смущает "и затем линию, непараллельную ни одной из них". Как это реализовать? Нет ли более изящного способа?

В задаче требуется "доказать", что такое возможно. Способа построения не требуется.

[kinoman84]

Shadow

Цитата:

Не нужно, достаточно знать, что их конечное число, а $k$ может принимать бесконечное число значений.

Теперь ясно, достаточно этих двух условий

Цитата:

Давайте проще (хотя куда там). Вы согласны, что все точки, если их конечное число, вмещаются в некоторый квадрат...или прямоугольник, или окружность. Так можно ли провести прямую, котороя вообще не касается этого квадрата...или прямоуголькика.

Я вообще не думал о таком варианте, а он выглядит таким очевидным) В голове была прямая, которая пробирается сквозь полчища точек)

Спасибо, за ответы! Теперь для меня на первую задачу два очевидных решения: Прямая за пределами области точек и прямая, параллельная, но не совпадающая ни с одной из семейства параллельных прямых, проведенных через каждую точку.
Функция $y=kx$ тоже класс, спасибо)

-- 30.09.2025, 15:24 --

Shadow

Цитата:

(Не работает при счетном множетстве точек, но при конечном - вполне)

А вот интересно, есть ли решение задачи при бесконечном количестве точек?

[Shadow]

kinoman84 в сообщении #1703920 писал(а):

А вот интересно, есть ли решение задачи при бесконечном количестве точек?

Попробуйте доказать (просто напишите уравнение прямой), что существует прямая, не проходящая через ни одну рациональную точку. (Рациональная точка на плоскости - у которой обе координаты - рациональные числа)

[kinoman84]

Shadow
С иррациональным коэффициентом? Если так, тогда это работает только со счетными множествами?

[Shadow]

kinoman84 в сообщении #1703933 писал(а):

Если так, тогда это работает только со счетными множествами?

Ну да, счетное, зато всюду плотное. А с несчетным и всюду плотным вряд ли...ну, смотря как задано такое множество. Есть варианты, на надуманные.

[kinoman84]

Shadow
Теперь ясно. Графический способ построения прямой наглядно показывает, о чем написал realeugene, но тогда я его не понял:

Цитата:

Если у вас есть бесконечное множество и конечное его подмножество, то существуют элементы бесконечного множества, не входящие в это конечное подмножество.

Можно просто наложить ограничения на коэффициент и исключить все прямые, которые проходят хотя бы через одну точку. Главное, чтобы были свободные варианты.
Большое спасибо.

[kinoman84]

Shadow в сообщении #1703939 писал(а):

kinoman84 в сообщении #1703933 писал(а):

Если так, тогда это работает только со счетными множествами?

Ну да, счетное, зато всюду плотное. А с несчетным и всюду плотным вряд ли...ну, смотря как задано такое множество. Есть варианты, на надуманные.

А обратное же тоже верно - плоскость заполнена бесконечным количеством точек с иррациональными координатами, и через любую свободную от других точку плоскости можно провести бесконечное количество "рациональных" прямых?

[kinoman84]

Shadow в сообщении #1703939 писал(а):

kinoman84 в сообщении #1703933 писал(а):

Если так, тогда это работает только со счетными множествами?

Ну да, счетное, зато всюду плотное. А с несчетным и всюду плотным вряд ли...ну, смотря как задано такое множество. Есть варианты, на надуманные.

А обратное же тоже верно - плоскость заполнена бесконечным количеством точек с иррациональными координатами, и через любую свободную от других точку плоскости можно провести бесконечное количество "рациональных" прямых?

[Shadow]

kinoman84 в сообщении #1705240 писал(а):

плоскость заполнена бесконечным количеством точек с иррациональными координатами, и через любую свободную от других точку плоскости можно провести бесконечное количество "рациональных" прямых?

Под "рациональной прямой" имеется ввиду $y=kx$, гдер $k$ - рациональное?

Если так, то все зависит от того, как задано множество точек, через которых нельзя проходить.