Изминение Гамильтониана при унитарном преобразовании.

[Doctor_Den]

Вопрос: как изменится гамильтониан системы при унитарном преобразовании U, т.е. какова формула перехода от старого гамильтониана к новому?H'=F(H)

[nestoklon]

1) Какой системы?
2) В каком пространстве это унитарное преобразование делается? В пространстве состояний? В реальном пространстве?
3) Почему унитарное? Какому физическому действию это преобразование соответствует?

[Doctor_Den]

Система квантовая, оператор гамильтона записан через операторы рождения и уничтожения частиц $H=\sum_ka^+a$

[peregoudov]

Как и любого оператора, $H'=U^\dag H U$?

[Munin]

Видимо, унитарное преобразование надо выразить в базисе операторов рождения и уничтожения...

[Doctor_Den]

peregoudov писал(а):

Как и любого оператора, $H'=U^\dag H U$?

Пробовал, но так с ответом не сходится. Там походу еще какой-то член, типо $dU/dt $, только не могу понять откуда...

[nestoklon]

Doctor_Den в сообщении #143566 писал(а):

Там походу еще какой-то член, типо $dU/dt $, только не могу понять откуда...

Там могут быть тонкости. Скорее всего вы неправильно пишете оператор. Он должен быть написан исключительно в том же базисе, что и гамильтониан. Почему я и задал вам те вопросы, на которые вы решили не отвечать.

[peregoudov]

Doctor_Den в сообщении #143566 писал(а):

Там походу еще какой-то член, типо $dU/dt $, только не могу понять откуда...

Ну, это понятно. Есть уравнение Шредингера

$$ i\frac{\partial\psi}{\partial t}=H\psi $$

и есть унитарное преобразование вектора состояния, зависящее от времени

$$ \psi=U(t)\chi. $$

Тогда $\chi$ удовлетворяет уравнению

$$ i\frac{\partial\chi}{\partial t}=H'\chi, $$

где

$$ H'=U^\dag HU-iU^\dag\frac{\partial U}{\partial t}. $$

[Doctor_Den]

Спасибо огромное!

[Yue]

Прошу прощение за некропостинг.
Но у меня схожий вопрос.

Имеется гамильтониан:
$H &=&\hbar ( \omega _{\mathrm{r}}+\chi \sigma _{\mathrm{z}% })a^{\dag }a+\hbar \frac{ \omega _{\mathrm{q}}+\chi }{2}\sigma _{z}+\hbar \xi (a^{\dagger }\exp[-i\omega_{p}]t+a\exp[i\omega_{p}]t)+\hbar \frac{\Omega }{2}(\sigma\exp[i\omega_{d}t] +\sigma^{\dagger }\exp[-\omega_{d}t])$

Операторы $\sigma_i$ - атомные и имеют отношение к двухуровневой системе с $Е=\omega _{\mathrm{q}}$
Операторы $a^{\dagger }/а$ - фотонный опетаторы резонатора с частотой $\omega _r$
Сигнал с частотой $\omega _d$ накачивает двухуровневую систему.


Для исключения временной зависимости к нему применяются два унитарных преобразования последовательно с операторами $U_1=\exp[-i\omega_{d}t]$ и $U_2=\exp[-i\omega_{p}t]$

После чего мы получаем гамильтониан в таком виде:
$H^{\prime\prime } &=&\hbar (\delta \omega _{\mathrm{r}}+\chi \sigma _{\mathrm{z}})a^{\dag }a+\hbar \frac{\delta\omega _{\mathrm{q-d}}+\chi }{2}\sigma _{z}+\hbar \xi (a^{\dagger }+a)+\hbar \frac{\Omega }{2}(\sigma+\sigma^{\dagger })$,
где $\omega _{\mathrm{r}}= \omega _{r}-\omega _p$\\ $\omega _{\mathrm{q-p}}= \omega _{q}-\omega _d$

Вопрос в том, как изменяться собственные значений гамильтониана $H$ и как они соотносятся с собственными значениями гамильтониана $H^{\prime\prime }$