Корректно ли такаое суммирование ряда Гранди?

[B@R5uk]

mihaild в сообщении #1703318 писал(а):

функционал, который будем называть "суммой ряда" так, чтобы были выполнены какие-то свойства. И дальше вопрос, какие именно.

У меня праздный вопрос в связи с этим: если первым свойством потребовать "значение функционала на абсолютно сходящейся последовательности совпадает с пределом конечных сумм этой последовательности", то можно ли будет (рациональным образом) расширить это свойство на всё множество последовательностей, чтобы каждой из них сопоставлялось конкретное число? Причём под "рациональным" я имею в виду что-то более "гладкое", чем ветвление "если сходится абсолютно, то это, а если нет, то значением функционала является (например) первый член последовательности".

[dgwuqtj]

Можно расширить с сохранением линейности, это уже лучше "ветвления".

[B@R5uk]

dgwuqtj, а гладкость такого функционала на всём множестве последовательностей можно обеспечить? Или это свойство уже на множестве абсолютно сходящихся последовательностей сломано? Я что-то этим вопросом как-то никогда не задавался, хотя за тему о суммировании расходящихся рядов слышал не раз.

[mihaild]

Для рядов с ограниченной последовательностью частичных сумм можно взять любой предел Банаха. Это даст линейность и инвариантность по сдвигам.

[dgwuqtj]

B@R5uk, а что вы называете гладкостью?

[B@R5uk]

dgwuqtj, я оговорился. Не гладкость, а регулярность. Что-нибудь в духе непрерывности по Коши. mihaild, последовательности со сходящимися частичными суммами составляют лишь небольшое подмножество всего множества бесконечных последовательностей. Отсюда и исходит моё любопытство относительно регулярного расширения функционала с этого небольшого подмножества на всё множество.

[mihaild]

B@R5uk в сообщении #1704619 писал(а):

Что-нибудь в духе непрерывности по Коши

Чтобы её определить, вам нужна топология на пространстве всех последовательностей.
Непрерывность по Гейне тут как раз была бы проще, для неё достаточно определить сходимость - что значит, что последовательность последовательностей сходится к последовательности; но её тоже непонятно, как определять.