Задача по теории меры

[Padawan]

С. А. Теляковский в Сборнике задач по теории функций действительного переменного, Наука, 1980 писал(а):

3.31. Определить неотрицательную аддитивную, но не $\sigma$-аддитивную функцию на алгебре всех подмножеств рациональных чисел из $[0,1]$.

Не понимаю, чем эта задача отличается от задачи найти неотрицательную аддитивную, но не сигма-аддитивную функцию на алгебре всех подмножеств $\mathbb N$. А я знаю только одно решение -- с ультрафильтрами (описано под оффтопом)

(Оффтоп)

"возьмём" какой-нибудь неглавный ультрафильтр $\xi$ на множестве $\mathbb N$ и для любого множества $A\subset\mathbb N$ положим $\mu(A)=1$, если $A\in \xi$, и $\mu(A)=0$, если $A\not\in\xi$. Тода из свойств ультрафильтра следует, что $\mu(A_1\cup A_2)=\mu(A_1)+\mu(A_2)$ для непересекающихся $A_1$, $A_2$. При этом $\mu(\mathbb N)=1$, а $\mu(x)=0$ для любого $x\in\mathbb N$, так как ультрафильтр $\xi$ не главный.

Что, интересно, автор имел ввиду? Может тут дело в том, что он допускает значения $\mu(A)=+\infty$?

[artempalkin]

Если, как обычно, $\mu([a,b]\cap \mathbb{Q})=b-a$ (ну и с другими скобками), а $\mu(\{c\})=0$, такая разве не подойдет ($c\in\mathbb{Q}$)?

Наверное, возникнут проблемы по поводу "всех подмножеств", да?

[Padawan]

artempalkin в сообщении #1705760 писал(а):

Наверное, возникнут проблемы по поводу "всех подмножеств", да?

Да, эта мера на полукольце не сигма-аддиттивна. Поэтому конструкция продолжения по Лебегу не корректна (да если бы и была корректна, где гарантия, что измеримыми будут все подмеожества?) Остается конструкция измеримости по Жордану, но измеримых по Жордану множеств еще меньше....

[artempalkin]

А если так:

$\mu ([0,1]\cap \mathbb{Q}) = 1$

Кроме того, $\mu (A) = 1$, если $[0,1]\cap \mathbb{Q}/A$ - конечно ($A \subset [0,1]\cap \mathbb{Q}$ естественно).

В остальных случаях $\mu=0$

Не покатит?

Не, не покатит...

[serg_yy]

А если так:
пусть $m$ - это мера Лебега. Через $\overline{A}$ будем обозначать замыкание произвольного множества $A$ (то есть добавляем все его предельные точки). Тогда определим требуемую меру $\mu$ как $\mu(A) = m(\overline{A})$.
Вроде и аддитивность есть, и сигма-аддитивности нет...

[mihaild]

serg_yy в сообщении #1705998 писал(а):

Вроде и аддитивность есть

Нету. Мера точек с нечетными знаменателями, и с четными, и их объединения, равна $1$.