О цифроделимости: восьмизначный случай

[gipokrat]

Не пиша компьютерной программы и не пользуясь катькулятором, докажите, что никакое восьмизначное число с попарно различными десятичными цифрами не делится на произведение всех своих цифр.

[Mikhail_K]

Ну это просто. Сначала доказываем, что число не содержит цифр $0$ и $5$, затем применяем признак делимости на $9$.

[gipokrat]

Mikhail_K
У меня чуть-чуть иначе.
Нуля, очевидно, быть не может, как и 2 и 5 одновременно.
Таким образом, получается «все 1–9, кроме одной».
Если исключить не 2 и не 5, снова получаем одновременно 2 и 5, что приводит нас к противоречию.
Если исключить 2 (или 5), сумма оставшихся цифр равна 43 (или 40), что даёт остаток 1 при делении на 3, но цифра 3 в числе есть.

-- 21.09.2025, 03:27 --

UPD:

Кстати, аналогичное 7-значное число существует и оно единственно: 1687392, но тут уже без катькулятора не обойтись.

[Утундрий]

Даже среди натуральных чисел встречаются удивительнейшие закономерности (с) Конфуций

[ozheredov]

Mikhail_K в сообщении #1702563 писал(а):

число не содержит цифр $0$ и $5$

Ноль допустим понятно. А поцчему не может быть 12345678?

[Mikhail_K]

ozheredov в сообщении #1702574 писал(а):

Ноль допустим понятно. А поцчему не может быть 12345678?

Потому что это число на 5 не делится, а цифра 5 внутри там есть.
А если бы число заканчивалось на 5, то не делилось бы на свои чётные цифры.

[Dendr]

gipokrat в сообщении #1702565 писал(а):

аналогичное 7-значное число существует и оно единственно: 1687392, но тут уже без катькулятора не обойтись.

Их всего 40, оказывается (49, если считать однозначные) - вот список с, соответственно, произведением цифр и результатом деления на него. Для удобства чтения разделил по количеству разрядов:

(Оффтоп)

1. 12 2 6
2. 15 5 3
3. 24 8 3
4. 36 18 2

5. 128 16 8
6. 132 6 22
7. 135 15 9
8. 175 35 5
9. 216 12 18
10. 312 6 52
11. 315 15 21
12. 384 96 4
13. 432 24 18
14. 612 12 51
15. 624 48 13
16. 672 84 8
17. 735 105 7
18. 816 48 17

19. 1296 108 12
20. 2916 108 27
21. 3168 144 22
22. 3276 252 13
23. 3915 135 29
24. 6912 108 64
25. 9315 135 69
26. 9612 108 89

27. 12768 672 19
28. 13248 192 69
29. 13824 192 72
30. 18432 192 96
31. 28416 384 74
32. 61824 384 161
33. 64128 384 167
34. 89712 1008 89
35. 91728 1008 91

36. 167328 2016 83
37. 438912 1728 254
38. 671328 2016 333
39. 912384 1728 528

40. 1687392 18144 93

Таких чисел в принципе немного, даже если разрешить повтор цифр - среди чисел меньше 10 миллионов их всего лишь 1223 (здесь однозначные учтены).

-- 24.09.2025, 13:14 --

Занятно. Когда уже отправил сообщение, заметил, что среди них много "анаграмм", только 16 из этого списка "уникальны".