На какую наибольшую степень числа 3 может делиться сумма?

[waxtep]

Даёшь бесконечнцатку (бесконечку?)!

Я попробовал на эту тему немного арифметики, правда, далеко не ушёл. Мы знаем (теорема Вильсона), что $\forall p\in\mathbb{P}:p|1+(p-1)!$. Если посмотреть в целом на сумму пар $b_s=s!+(p-s)!\pmod{p}$, то легко получить рекурренцию (далее все равенства по модулю $p$):

$$b_s+s\cdot b_{s+1}=s!(s^2+s+1)$$

Эта рекурренция даже решается явно:

$$b_s=s!+\frac{(-1)^s}{(s-1)!}$$

Выглядит симпатично, правда, как дальше действовать, - непонятно. Для щлемоблещущих чисел (простых $p=2t+1$, на которые делится бесконечное количество факториальных сумм) должно быть

$$\sum_{s=1}^{t}b_s=0$$

а заодно получается забавное тождество для любого простого $p=2t+1$:

$$\sum_{s=1}^{t}(s+t)!-\frac{(-1)^s}{(s-1)!}=0$$

-- 14.09.2025, 02:45 --

...которое, конечно, следует из полученного почленно

$$(p-s)!(s-1)!\equiv{(-1)^s\pmod p}$$