Уравнение A^2-bB^2=C^4 и что из него можно получить

[nimepe]

Запишем решение уравнения$A^2-bB^2=C^4$


$ A=((m^2+bp^2)k)^{4d+1}((m^2-bp^2)k)^{2v} $

$B=2mpk((m^2+bp^2)k)^{4d}((m^2-bp^2)k)^{2v}$

$ C=((m^2+bp^2)k)^{2d}((m^2-bp^2)k)^{v+\frac{1}{2}}$

-- 02.09.2025, 11:22 --

Проверим решение уравнения:

$((m^2+bp^2)k)^{8d}((m^2-bp^2)k)^{4v}(((m^2+bp^2)k)^2-4bm^2p^2k^2=((m^2-bp^2)k)^2)$

-- 02.09.2025, 11:27 --

Найдем решение уравнения $((m^2-bp^2)k)^\frac{1}{2}=D$ в целых числах при $k=1$

-- 02.09.2025, 11:32 --

$m=(m_1^2+bp_1^2)k_1$

$p=2m_1p_1k_1$

$D=(m_1^2-bp_1^2)k_1$

-- 02.09.2025, 11:38 --

Подставляем в формулы чисел $A, B, C$ новые значения $m ,p ,D$ получим решение уравнения $A^2-bB^2=C^4$ в целых числах

-- 02.09.2025, 11:53 --

Если в формулах чисел $A ,B, C$ взять $d=0, v=0 $ , то после всех преобразований получим:

$A=m_1^4+6bm_1^2p_1^2+b^2p_1^4$

$B=4m_1p_1((m_1^2+bp_1^2)$

$C=m_1^2-bp_1^2$ при $k_1=1$

-- 02.09.2025, 12:00 --

Если в формулах чисел $A, B, C$ уравнения $A^2-bB^2=C^4$ взять $b=1$ ,то получим формулы решения уравнения $A^2-B^2=C^4$ в целых числах.

[Shadow]

nimepe в сообщении #1700513 писал(а):

Запишем решение уравнения$A^2-bB^2=C^4$

Некоторое решение, все решения...ну да ладно. Если хоть что-то рациональное в данной писанины есть, то это:

nimepe в сообщении #1700513 писал(а):

$A=m_1^4+6bm_1^2p_1^2+b^2p_1^4$

$B=4m_1p_1(m_1^2+bp_1^2)$

$C=m_1^2-bp_1^2$

(индексы то зачем?!?!) которое тривиально можно получить из $A+B\sqrt b=(m+p \sqrt b)^4$. Но тут беда - делители единицы, так что и оно далеко не полное.

nimepe в сообщении #1700513 писал(а):

Если в формулах чисел $A, B, C$ уравнения $A^2-bB^2=C^4$ взять $b=1$ ,то получим формулы решения уравнения $A^2-B^2=C^4$ в целых числах.

догадались уже...но не стоит.