Функции Фи.

[Батороев]

Функция Эйлера хорошо изучена, поэтому не буду на ней задерживаться.
Единственное приведу ее развернутый вид, приведенный к примориалам, и который не встречал:

$$ \dfrac {\varphi (p_i\#)}{p_{i}\#}=\dfrac {(2-1)\cdot (3-1)\cdot (5-1)...(p_i-1)}{2\cdot 3\cdot 5... p_i}\eqno (1) $$

Умножив (1) на $p_{i}\#$ и развернув его, получаем:

$$\varphi(p_{i}\#)=p_{i}\#\cdot \left(1-\dfrac {1}{p_{1}}-\dfrac {\varphi(p_{1}\#)}{p_{2}\#}-\dfrac {\varphi(p_{2}\#)}{p_{3}\#}-...-\dfrac {\varphi(p_{i-1}\#)}{p_{i}\#}\right)\eqno (2)$$

Для расчета количества пар чисел-близнецов, взаимно простых с примориалом, я ранее в одной из своих тем предложил использовать $\varphi_2 (n)$:

$$ \varphi_{2} (p_{i}\#)=1\cdot (p_{2}-2)\cdot (p_{3}-2)\cdot...\cdot (p_{i}-2)\eqno (3)$$

Ее развернутый вид для примориалов:

$$\varphi_{2}( дляp_{i}\#)=p_r\#\cdot \left(1-\dfrac {1}{p_{1}}-\dfrac {\varphi_{2}(p_{1}\#)}{p_{2}\#}-\dfrac {\varphi_{2}(p_{2}\#)}{p_{3}\#}-...-\dfrac {\varphi_{2}(p_{i-1}\#)}{p_{i}\#}\right)\eqno (4)$$

При этом надо отметить, что (3) дает завышение $+1$ для каждого из примориалов.
Чтобы найти конкретные значения таких взаимно простых пар, необходимо прогнать числа $b_{j}=(a_{j}^2-1)$ по моулям соотвтствующих примориалу простых (где $a$ - натуральные числа, $j$ - порядковый номер в ряду натуральных чисел от $1$ до $p_{i}\#$). В итоге такого расчета будут получаться произведения чисел-близнецов.

По формуле (3) также можно подсчитать количество взаимно простых к примориалам чисел-кузенов (отличающихся на $4$)
В этом случае (3) дает точное значение.
Поэтому в примориалах число взаимно простых кузенов на 1 больше числа взаимно простых близнецов.
Чтобы найти конкретные значения таких взаимно простых пар, необходимо прогнать числа $b_{j}=(a_{j}^2-2^2)$.

Чтобы подсчитать количество чисел взаимно простых примориалу, но отличающихся друг от друга на $6, используем формулу немного отличающуюся от (3):

$$ \varphi_{2} (p_{i}\#)=1\cdot (p_{2}-1)\cdot (p_{3}-2)\cdot...\cdot (p_{i}-2)\eqno (5)$$

Погрешность (5) $+1$.
Здесь $b_{j}=(a_{j}^2-3^2)$
Как видно из сравнения (3) и (5) таких чисел практически в два раза больше, чем чисел-близнецов.

Приведу еще функцию $\varphi_{4}$ для расчета взаимно простых примориалу для квадруплетов:

$$ \varphi_{4} (p_{i}\#)=1\cdot (p_{2}-1)\cdot (p_{3}-4)\cdot...\cdot (p_{i}-4)\eqno (6)$$

Здесь $b_{j}=(a_{j}^2-2^2)\cdot (a_{j}^2-4^2)$

[Батороев]

Функцию для подсчета количества чисел-триплетов (троек чисел), взаино простых с примориалами, можно использовать такую:

$$\varphi_{3} =2\cdot 1\cdot 1\cdot (p_{3}-3)\cdot (p_{4}-3)\cdot ...\cdot (p_{i}-3)$$

Двойка впереди означает, что функция состоит из двух равных частей, одна из которых описывается формулой $b_{j}=(a_{j}^2-1)\cdot (a_{j}-5)$, а вторая - формулой $b_{j}=(a_{j}^2-1)\cdot (a_{j}+5)$. Это зависит от того, какой мы хотим получить крайний член триплета.