Расстояние от центра до границы квадрата

[MGM]

Единичная окружность вписана в квадрат.
Центр окружности совпадает с началом координат.
Тогда расстояние $r\left( \theta \right)$ от начала координат до границы квадрата вдоль линии с углом $\theta$ равно:
$r\left( \theta \right) = \frac{1}{{\max \left( {\left| {\cos \theta } \right|,\left| {\sin \theta } \right|} \right)}} $

Вопрос: существует ли у такой формулы или подобного расстояния какое-то специальное математическое название, и можно ли выразить подобное расстояние без абсолютного значения и функции максимума?

[tolstopuz]

MGM в сообщении #1699942 писал(а):

Вопрос: существует ли у такой формулы или подобного расстояния какое-то специальное математическое название

Уравнение квадрата в полярных координатах.

MGM в сообщении #1699942 писал(а):

и можно ли выразить подобное расстояние без абсолютного значения и функции максимума?

Нельзя. Арифметические операции и элементарные функции гладкие, а граница квадрата - нет.

[Geen]

$\max(a,b)=\log_\infty(\infty^a+\infty^b)$

[Mikhail_K]

tolstopuz в сообщении #1699943 писал(а):

Нельзя. Арифметические операции и элементарные функции гладкие, а граница квадрата - нет.

Ошибаетесь, можно.
$|x|=\sqrt{x^2}$,
$\max\{x,y\}=\frac{x+y}{2}+\frac{|x-y|}{2}=\frac{x+y}{2}+\frac{1}{2}\sqrt{(x-y)^2}$ (т.е. середина отрезка между $x$ и $y$ плюс половина длины этого отрезка).
Функция квадратный корень в нуле не гладкая (не дифференцируемая).

[MGM]

Mikhail_K в сообщении #1699947 писал(а):

tolstopuz в сообщении #1699943 писал(а):

Нельзя. Арифметические операции и элементарные функции гладкие, а граница квадрата - нет.

Ошибаетесь, можно.
$|x|=\sqrt{x^2}$,
$\max\{x,y\}=\frac{x+y}{2}+\frac{|x-y|}{2}=\frac{x+y}{2}+\frac{1}{2}\sqrt{(x-y)^2}$ (т.е. середина отрезка между $x$ и $y$ плюс половина длины этого отрезка).
Функция квадратный корень в нуле не гладкая (не дифференцируемая).

Напрашивается использовать формулу:
$\cos \theta + \sin \theta = \sqrt 2 \sin \left( {\theta + \frac{\pi }{4}} \right)$
Только не понятно, как.

-- Чт авг 28, 2025 15:20:59 --

Хотя, для описаниия численного алгоритма, вряд ли необходимо усложнять первоначальную формулу? Если цель построить отображение с одной дискретной решетки, на другую. Как бы и так понятно, что никакого сверхглубокого смысла в формуле нет.

[Mikhail_K]

MGM
А в чём Ваш вопрос-то вообще? О каком численном алгоритме речь? Конечно, в любом численном алгоритме можно использовать модуль и max.

[maxmatem]

Цитата:

Тогда расстояние $r\left( \theta \right)$ от начала координат до границы квадрата вдоль линии с углом $\theta$ равно:

а можно пожалуйста популярно , что это за угол ? между чем и чем ?

[tolstopuz]

Mikhail_K в сообщении #1699947 писал(а):

Функция квадратный корень в нуле не гладкая (не дифференцируемая).

Ох, забыл. Как-то все про синусы с экспонентами думал.

[maxmatem]

Я правильно понимаю что угол между прямой содержащей какую-нибудь сторону квадрата и осью абсцисс ?

[MGM]

Mikhail_K в сообщении #1699954 писал(а):

MGM
А в чём Ваш вопрос-то вообще? О каком численном алгоритме речь? Конечно, в любом численном алгоритме можно использовать модуль и max.

Двумерное дискретное преобразование Фурье обладает одновременно и свойствами присущими полярной системе координат (нулевая частота собсвенной двумерной функции строго перпендикулярна направлению $\theta $), и, естественно,свойсвами Декартовой решетки. То есть частота по направлению $\theta $ делит отрезок не фиксированной длины, как может показаться на первый взгляд, а переменной. Ну а так, как математики любят дифференцируемы функции, то желательно (не всегда) пытыться избегать как минимум максимов, дабы у рецензента заранее не возникло отрицательного отношения к предмету рецензирования. :)
В данном случае, думаю, с максимумом вполне сгодится.

-- Пт авг 29, 2025 12:36:39 --

maxmatem в сообщении #1700000 писал(а):

Я правильно понимаю что угол между прямой содержащей какую-нибудь сторону квадрата и осью абсцисс ?

Угол полярки. От нуля до 360 гр.

[wrest]

MGM в сообщении #1700021 писал(а):

Ну а так, как математики любят дифференцируемы функции,

Но квадрат-то не гладкий в вершинах

[MGM]

wrest в сообщении #1700026 писал(а):

MGM в сообщении #1700021 писал(а):

Ну а так, как математики любят дифференцируемы функции,

Но квадрат-то не гладкий в вершинах

Да. Однако только в 4 точках всего, а максимум берется во многих. Кто занимается обратным перобразованием Радона - это секта сигнальщиков, не признающих никаких сумм (в очень крайних случаях). Только интегралы. И только теорию фильтрации в частотной области определения. Моя задача - перевести проблему в плоскость собственных функций дискретного разложения Фурье (переодическая функция). И доказать возможность существования точного решения для дискретных функций. При определенных случаях (явно не быстрый алглритм). Если приближение к идеальному будет давать хорошую реконструкцию да еще и допускать БПФ, то наличие замечательных интегралов преобразования Радона при этом отпадает. В голове все доказано, но сначала хочу отладить алгоритм. Есть вероятность, что точность восстановления быстрого варианта будет сильно уступать традиционному. В этом случае ничего доказывать не надо будет, просто новый быстрый алгоритм