Убрать фишки с доски

[ovalox]

добрый вечер, прошу помочь с задачей:

На доске $8\times8$ стоят $50$ фишек. Если в каком-то квадрате $2\times2$ стоит всего одна фишка, то её можно убрать. Докажите, что за несколько таких ходов убрать все фишки с доски не удастся.

сам я попробовал:
1) смотреть на хорошую строку (напр., с 7 фишками) и думать над тем, когда все фишки с неё не получается удалить
2) думать над Дирихле, однако оценка в 50 фишек точная, пока есть лишь интуитивное понимание, откуда она берётся
3) искать конфигурацию в виде креста из фишек, в центре которого фишки нет. оказалось, с такого креста нельзя убрать ни одну фишку, однако такая конфигурация не очень часто встречается

заранее спасибо!

[mihaild]

ovalox в сообщении #1699478 писал(а):

Если в каком-то квадрате $2\times2$

А сколько всего таких квадратов бывает?

[ovalox]

ну таких квадратов $49$...

[TOTAL]

ovalox в сообщении #1699478 писал(а):

На доске $8\times8$ стоят $50$ фишек.

Кому удалось поставить $50$ фишек в $49$ пустых квадратов?

[ovalox]

я всё равно не очень понимаю, как это должно помочь((
если мы убираем какую-нибудь фишку из одного квадрата, она может спокойно убраться и из других
ну а тот факт, что найдётся квадрат с хотя бы двумя фишками вроже верен и для гораздо меньшего числа фишек

[Mikhail_K]

ovalox в сообщении #1699488 писал(а):

я всё равно не очень понимаю, как это должно помочь((
если мы убираем какую-нибудь фишку из одного квадрата, она может спокойно убраться и из других
ну а тот факт, что найдётся квадрат с хотя бы двумя фишками вроже верен и для гораздо меньшего числа фишек

Вы правы. И всё-таки принцип Дирихле тут применим.
Вот и примените его.
Всего есть 49 квадратов 2x2. Изначально на доске было 50 фишек. Предположим, что серией ходов удалось убрать их все. Значит, ...

[ovalox]

а, да
с каждого квадрата можно удалить не более одной фишки, а со всей доски уйдёт не более $49$ фишек...
забавно
спасибо большое всем!

[wrest]

Дирихле, конечно, сила.
Я начал было сомневаться что найдется расстановка из 49 где можно убрать все, но она нашлась ИИ такую нашел

[TOTAL]

wrest в сообщении #1699496 писал(а):

ИИ такую нашел

ИИ мозги пудрит.
Можно просто убрать фишки с главной диагонали ($8$ штук) и под ней (ещё $7$ штук)

[Mikhail_K]

TOTAL в сообщении #1699505 писал(а):

ИИ мозги пудрит.
Можно просто убрать фишки с главной диагонали ($8$ штук) и под ней (ещё $7$ штук)

Не понял, в чём именно пудрит мозги?

[TOTAL]

Mikhail_K в сообщении #1699506 писал(а):

Не понял, в чём именно пудрит мозги?

Вместо очевидного простого решения выдаёт вычурное.

[Mikhail_K]

Всё, понял.

[Dmitriy40]

Зачем диагонали, можно просто убрать любую горизонталь и любую вертикаль (в любых комбинациях).

[Ende]

Тема перемещена из форума «Олимпиадные задачи (М)» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»
Причина переноса: олимпиадности не просматривается.

[TOTAL]

Dmitriy40 в сообщении #1699515 писал(а):

Зачем диагонали, можно просто убрать любую горизонталь и любую вертикаль (в любых комбинациях).

Вот если бы ИИ ответил: "Зачем диагонали, можно просто убрать любую горизонталь и любую вертикаль"
Но куда ему.