ряд Фурье

[new_sergei]

Надо разложить в ряд Фурье по косинусам и по синусам функцию

\[ f(x) = \left\{ \begin{array}{l} x,0 \le x \le 1 \\ 2 - x,1 \le x \le 2 \\ \end{array} \right. \]

По косинусам, вроде бы, получилось, а вот когда раскладывал по синусам, то получилось что

\[ b_n = 0 \]

Так ли это?

[bobo]

Т.е. Вы разложили в ряд по синусам и получили тождественный ноль Продемонстрируете, как Вам это удалось?

[ewert]

Это получится автоматически, если раскладывать в стандартный ряд по синусам и косинусам (т.к. функция после продолжения по периодичности будет чётной).

Но разложение только по синусам -- вещь совсем другая. Там функция продолжается не по периодичности, а по нечётности. И синусов в ряде будет вдвое больше, чем в стандартном. Та половина коэффициентов, что соответствует стандартному ряду, естественно, так и останется нулевой. А вот другая половина -- нет.

Т.е. автор, видимо, попросту забыл удвоить период синусов.

[new_sergei]

Спасибо за ответы.
Немного не понял, про удвоение периода.
Т.е., когда считаю

\[ b_n = \frac{2}{{b - a}}\int\limits_a^b {f(x)\sin n\omega xdx;} \]

, где

\[ \omega = \frac{{2\pi }}{{b - a}}; \]

, то мне нужно домножить результат на 2 или поставить другие пределы интегрирования?

[ewert]

new_sergei писал(а):

Спасибо за ответы.
Немного не понял, про удвоение периода.
Т.е., когда считаю

\[ b_n = \frac{2}{{b - a}}\int\limits_a^b {f(x)\sin n\omega xdx;} \]

, где

\[ \omega = \frac{{2\pi }}{{b - a}}; \]

, то мне нужно домножить результат на 2 или поставить другие пределы интегрирования?

Только Вы $n$ потеряли: $\omega_n = \frac{2\pi n}{b - a}$.

То, что Вы написали сейчас -- это стандартное разложение по синусам и косинусам. Однако если промежуток начинается с нуля, то Вам могли предложить (обычно и предлагают) параллельно построить два других разложения: только по косинусам и только по синусам. Формулы при этом ровно те же, но частоты вдвое меньше, т.е. количество коэффициентов вдвое больше: $\omega_n = \frac{\pi n}{b - 0}$. Именно так мы Ваш начальный пост и поняли, т.к. там была формулировка: "по косинусам и по синусам".

В Вашем примере стандартное разложение действительно не содержит синусов из-за чётности раскладываемой функции. Однако если раскладывать только по синусам, то коэффициенты с нечётными $n$ будут уже ненулевыми (другая половина, с чётными $n$, отвечает тем же слагаемым, что и в стандартном разложении).

[new_sergei]

Спасибо за ответы.
Но мне всё равно не совсем понятно, что надо делать.
Какие всё-таки частоты должны быть?
Я считал с такими:

\[ b_n = \frac{2}{{2 - 0}}\int\limits_0^2 {f(x)\sin \left( {n\frac{{2\pi }}{{2 - 0}}x} \right)dx = } \int\limits_0^1 {x \cdot \sin \left( {n\pi x} \right)dx + \int\limits_1^2 {\left( {2 - x} \right) \cdot \sin \left( {n\pi x} \right)dx;} } \]

2 ewert

Сначала вы написали, что вместо

\[ \omega \]

надо подставлять не

\[ \frac{{2\pi }}{{b - a}} \]

, а

\[ \frac{{2\pi n}}{{b - a}} \]

. А потом, что

\[ \omega = \frac{{\pi n}}{{b - 0}} \]

.
Так, всё-таки, чему должно быть равно

\[ \omega \]

?

[ewert]

"Сначала" относится к случаю, когда ряд содержит и синусы, и косинусы. "Потом" -- к случаю, когда ряд составляется только из синусов. Это -- разные варианты разложения. Что непонятно?

Ваша версия подсчёта соответствует первому случаю, когда разложение -- и по синусам, и по косинусам. Естественно, в Вашем случае коэффициенты при синусах будут нулевыми.

[new_sergei]

2 ewert
Спасибо за помощь.
Коэффициенты я считал по формулам

\[ a_n = \frac{2}{l}\int\limits_0^l {f(x)\cos \frac{{\pi nx}}{l}} dx; \]

и

\[ b_n = \frac{2}{l}\int\limits_0^l {f(x)\sin \frac{{\pi nx}}{l}} dx; \]

Просто я раньше думал, что если, например, отрезок, на которм задана функция от 0 до 2, то это значит, что

\[ b - a = 2l = 2 - 0 = 2; \]

и, соответственно,

\[ l = 1; \]

Просто мне не понятно, какой длинны тогда должно быть

\[ l \]

, когда надо разложить только по синусам или только по косинусам. Отрезок, на которм задана функция - это

\[ l \]

, или

\[ 2l \]

?

На этот раз я делал разложение исходя из предположения, что отрезок равен

\[ l \]

, т.е.

\[ l = 2; \]

У меня получилось следующее:

по синусам:

\[ f(x) = \frac{8}{{\pi ^2 }}\sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{1}{{n^2 }}} \sin \frac{{\pi n}}{2} \cdot \sin \frac{{\pi nx}}{2}; \]

по косинусам:

\[ f(x) = \frac{1}{2} + \frac{4}{{\pi ^2 }}\sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{1}{{n^2 }}} \left( {\cos \frac{{\pi n}}{2} - 1 - \left( { - 1} \right)^n } \right)\cos \frac{{\pi nx}}{2}; \]

Всё ли верно?

[ewert]

Вроде всё верно, не считая того, что в последней формуле в коэффициенте перед $\cos{\pi n\over2}$ потеряна двойка.

Только насчёт эль Вы в какую-то странную сторону думаете. Эль -- это в любом случае длина промежутка. И дробь перед интегралом -- это всегда два делить на эль (это объясняется тем, что среднее значение квадратов синусов или косинусов на промежутках, кратных четвертьпериоду, в либом случае равно одной второй). Разница -- только в частотах внутри синусов и косинусах.

----------------------------------------------------------------------
Да, и обратите внимание, что в разложении только по синусам слагаемые с чётными эн фактически отсутствуют. Это -- именно те синусы, которые должны были бы входить в разложение одновременно по синусам и по косинусам (и которых там фактически нет).

[new_sergei]

2 ewert.
Спасибо за помощь.
Да, двойку перед косинусом я пропустил.
Когда я говорил на счёт

\[ l \]

, то я имел в виду вот что.
То, что перед интегралом нужно делить двойку на l я понимаю, но вот не понимаю, чему равно l.
Когда функция имеет период

\[ {2\pi } \]

, то в учебниках (во всяком случае в тех, которые у меня) пишут ещё, что

\[ T = 2l = 2\pi ; \]

. Т.е.

\[ l \]

- это половина периода. Так вот, мне не понятно, что будет, если функция имеет период отличный от

\[ 2\pi \]

. Всё равно

\[ l \]

будет равно половине этого периода?

Последние разложения я делал из предположения, что длинна периода будет равна l.

[ewert]

Для построения разложений только по синусам или только по косинусам используют доопределение функции на симметричный промежуток слева от нуля -- соотв., по нечётности или по чётности. После чего к полученной функции применяют стандартное разложение. Естественно, период при этом удваивается.

Но это -- только для доказательства. А вот если уж такое разложение доказано (хотя бы в принципе), то в знаменателе под двойкой безусловно должна стоять длина именно исходного промежутка. Поскольку множитель перед интегралом -- это перевёрнутый квадрат нормы базисной функции. А он (этот квадрат) в любом случае равен половине длины промежутка (по причине, о которой я уже говорил).