Абсолютная непрерывность мер

[meshok]

Доброго времени суток!
Пытаюсь решить такую задачу.
Меры $P$ и $\bar{P}$ заданы на сигма-алгебре $\sigma(\mathcal{A})$, причем известно, что $\bar{P}$ абсолютно непрерывна относительно меры $P$ на алгебре $\mathcal{A}$, т.е. если $P(A)=0$, то и $\bar{P}(A)=0$, где $A\in \mathcal{A}$.
Вопрос: является ли $\bar{P}$ абсолютно непрерывной относительно $P$ на сигма-алгебре $\sigma(\mathcal{A})$?
Мое решение, где я доказываю, что ответ да.
Решение.
Напомним представление, справедливое для каждой вероятностной меры на $\sigma(\mathcal{A})$

$$ P(A)=\inf\left\{\sum P(A_k), A\subset\bigcup A_k, A_k\in\mathcal{A}\right\},\quad A\in\sigma(\mathcal{A}) $$

где объединение берется по конечному или счетному набору множеств.

Воспользуемся эквивалентным определением абсолютной непрерывности. Мера $\bar{P}\ll P$ тогда и только тогда, когда для каждого фиксированного $\varepsilon>0$ существует $\delta>0$ такое что если $P(A)<\delta \Rightarrow \bar{P}(A)<\varepsilon$.
Зафиксируем $\varepsilon>0$. Тогда найдется такое $\delta>0$, что для каждого $A$ из $\mathcal{A}$ с $P(A)<\delta$ справедливо $\bar{P}(A)<\varepsilon$.
Пусть $P(B)=0$. Тогда найдется такой не более чем счетный набор множеств $B_k\in \mathcal{A}$, что $B\subset\bigcup B_k$ и $\sum P(B_k)<\delta$. Поскольку для каждого конечного $n$ множество $\bigcup\limits_{k=1}^n B_k$ содержится в $\mathcal{A}$ и $P\left(\bigcup\limits_{k=1}^n B_k\right)< \delta$, то $\bar{P}\left(\bigcup\limits_{k=1}^n B_k\right)<\varepsilon$ и следовательно

$$ \bar{P}(B) \leq \bar{P}\left(\bigcup\limits_{k=1}^\infty B_k\right) =\lim\limits_{n\to\infty} \bar{P}\left(\bigcup\limits_{k=1}^n B_k\right)\leq \varepsilon. $$

Поскольку это соотношение верно для каждого $\varepsilon>0$, то $\bar{P}(B)=0$.
В этом решение я использовал эквивалентное определение абсолютной непрерывности, но оно верно, если меры заданы на сигма-алгебре (про его справедливость на алгебре неизвестно).
Может быть это утверждение и не верно?

[dgwuqtj]

Что насчёт алгебры, порождённой полуинтервалами $[a, b)$ на прямой? Там абсолютная непрерывность встречается часто.