Тройки чисел с НОК, равным утроенной сумме

[gipokrat]

Найти все тройки различных натуральных чисел, наименьшее общее кратное которых равно их утроенной сумме.

Сразу бросается в глаза бесконечное семейство $\{2n, 3n, 5n\},\;n\in\mathbb{N}.$
Однако существуют и другие бесконечные семейства. Как найти их все? Наведите, пожалуйста, на мысль.

[adfg]

Первое - исследовать на предмет взаимной простоты базисных решений. Возможны кажется, 2 случая - либо базисные решения попарно взаимно просты, либо имеют вид (3x,3y,z), где x,y,z - попарно взаимно просты.

После этого в обоих случаях можно писать уравнение относительно x,y,z, сразу сократив его на 3.

Далее, упорядочив переменные по возрастанию и учитывая, что сумма двух маленьких чисел должна быть меньше удвоенного большого, сокращая в итоге на общий множитель, останется решить несколько совсем простых уравнений вида: $xy=2$, либо $yz=4$, либо $yz=5$, оставшиеся кажется не имеют решений.

В случае взаимно простых решений первое из этих уравнений даст два ответа. Один из них - (2,3,5) Вы нашли, второй - (1,6,7), оставшиеся два дадут по одному ответу - (1,4,15) и (1,5,9).

Во втором случае последние два уравнения дадут по 2 ответа - (1,12,39), (3,4,21) и (1,15,24),(3,5,12)

Решал устно, возможно упустил еще какие-то решения. Надо все записать и аккуратно перебрать все случаи, их в итоге должно остаться не так много.

[maxmatem]

gipokrat
покажите ваши рассуждения, как вы пришли к тому семейству, что вы написали.
Если сложно сразу с утроенной суммой, то решите сначала подзадачу

Найти все тройки различных натуральных чисел, наименьшее общее кратное которых равно их сумме.

[maxmatem]

adfgЧто Вы имеете в виду под базисными решениями ?

[wrest]

maxmatem в сообщении #1697061 писал(а):

Что Вы имеете в виду под базисными решениями ?

Мне кажется, что это по аналогии с пифагоровыми, т.е. базисные=примитивные тройки, общий НОД=1.
Вот их 8 штук, остальные им кратны.

[maxmatem]

wrestСпасибо .