Доказать равенства рядов. Зорич

[daniilrozanov]

Здравствуйте. Задача из "Математического анализа" Зорича, предел последовательности, задача 2. Строгое ощущение, что решаю в правильном направлении, но что-то не сходится.
Следует доказать при $n \ge 2$ равенство

$$ 1+\frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} + \dots + \frac{1}{n!} + \frac{1}{n!n} = 3 - \frac{1}{1 \cdot 2 \cdot 2!} - \dots - \frac{1}{(n-1)n \cdot n!} $$

Доказывать решил по индукции. Для $n = 2$ проверил. Условлюсь сумму слева называть $a_n$, справа $b_n$.

$a_{n+1}$ выглядит следующим образом:

$$1+\frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} + \dots + \frac{1}{n!} + \frac{1}{n!(n+1)} + \frac{1}{n!(n+1)^2}$$

Разница $a_n - a_{n+1}$ равна

$$\frac{1}{n!n} - \frac{1}{n!(n+1)} - \frac{1}{n!(n+1)^2} = \frac{n^2 + 2n + 1 - n^2 -n -n}{n!(n+1)^2} = \frac{1}{n!(n+1)^2}$$

Для $b_n$ разница $b_n - b_{n+1}$ очевидно равна

$$\frac{1}{n!(n+1)^2n}$$

, что не равно разнице $a_n$ и $a_{n+1}$, в чём и состоит проблема.
Если бы их разница была равна, задача была бы решена, тк было бы доказано, что при увеличении $n$ обе части равенства убывают на одинаковое число, но где-то в разнице $a$ не достаёт $n$ в знаменателе. Что я делаю не так?

[Утундрий]

Вас не смущает, что сумма слева с увеличением $n$ растёт, а справа — убывает?

[daniilrozanov]

Утундрий в сообщении #1696918 писал(а):

Вас не смущает, что сумма слева с увеличением $n$ растёт, а справа — убывает?

На самом деле это не так, и это следует из приведённых расчётов. Они обе убывают. Проверьте численно если не верите, я сам сначала удивился

[Утундрий]

daniilrozanov в сообщении #1696919 писал(а):

это следует из приведённых расчётов

Из ошибочных, поскольку с каждым новым $n$ слева добавляется положительное число, а справа вычитается другое, но тоже положительное.

[daniilrozanov]

Утундрий в сообщении #1696922 писал(а):

daniilrozanov в сообщении #1696919 писал(а):

это следует из приведённых расчётов

Из ошибочных, поскольку с каждым новым $n$ слева добавляется положительное число, а справа вычитается другое, но тоже положительное.

Где ошибка? Можете указать? Возьмите карандаш, посчитайте для $n=2$ и $n=3$ и убедитесь. И можете пожалуйста не писать неконструктивные сообщения в эту тему.

[gris]

Кстати, вот легко и посчитать выражения для первых n:
(20:28) gp > s1=2.0; s2=3.0; f=1;for(n=2,12, f=f*n; s1=s1+1.0/f;s2=s2-1.0/f/n/(n-1);print(n;" ",s1+1.0/f/n," ",s2))
2.750000000000000000000000000 2.750000000000000000000000000
2.722222222222222222222222222 2.722222222222222222222222222
2.718750000000000000000000000 2.718750000000000000000000000
2.718333333333333333333333333 2.718333333333333333333333333
2.718287037037037037037037037 2.718287037037037037037037037
2.718282312925170068027210884 2.718282312925170068027210885
2.718281870039682539682539682 2.718281870039682539682539683
2.718281831765628061924358221 2.718281831765628061924358221
2.718281828703703703703703704 2.718281828703703703703703704
2.718281828475957263836051715 2.718281828475957263836051715
2.718281828460141538845242549 2.718281828460141538845242549
(20:29) gp >
А потом и вручную. Главное, не запутаться в количестве слагаемых. Попробуйте индукцию.
Кстати, Зорич указывает далее, что эти формулы удобнее при ручной аппроксимации числа $e$, чем обычное приближение через чистые факториалы.

[Combat Zone]

daniilrozanov
Для первой разности в знаменателе $n$ не хватает.

[daniilrozanov]

Combat Zone в сообщении #1696928 писал(а):

daniilrozanov
Для первой разности в знаменателе $n$ не хватает.

Именно! Только как бы её там получить. Я просто плохо посчитал? Можете указать где я $n$ пропустил?

[waxtep]

daniilrozanov в сообщении #1696929 писал(а):

Можете указать где я $n$ пропустил?

Так в первом же члене в знаменателе $n$ есть, а далее в общем его утеряли

[Combat Zone]

При приведении к общему знаменателю, вестимо, вы ее потеряли. Посмотрите, исходно она была. Странно, как вы вообще получили то, что получили. Не должны были.

Думаю, это скорее опечатка. Больше на то похоже.

[daniilrozanov]

Combat Zone в сообщении #1696932 писал(а):

При приведении к общему знаменателю, вестимо, вы ее потеряли.

Хоспаде. Спасибо вам и предыдущему участнику. Каким-то образом я это пропустил дважды. Дико извиняюсь

[Combat Zone]

Самое интересное, что вы это не увидели, пока набирали :) вот это уж действительно редко случается.

[Утундрий]

Цитата:

$$ 1+\frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} + \dots + \frac{1}{n!} + \frac{1}{n!n} $$

А, это следовало читать как

$$\left(1+\frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} + \dots + \frac{1}{n!} \right)+ \frac{1}{n!n}$$

У Зорича тоже без скобок или это ТС отличился?

[Combat Zone]

У Зорича это без скобок, они там незачем, прочтение однозначно.

[Утундрий]

(Оффтоп)

Combat Zone в сообщении #1696937 писал(а):

прочтение однозначно

Ну-ну.