Задача на освещённость между двумя плоскими зеркалами

[Mathew Rogan]

Наткнулся в одной книге на несложную задачу на расчёт освещённости, создаваемой точечным источником, расположенным между двумя плоскими зеркалами.


Как мне кажется, ответ занижен в 2 раза: учтён только реальный источник и его изображения в одном из зеркал. Если учесть изображения в другом зеркале, получится такой же ряд, так что в итоге ответ должен быть
$ E = \frac{\pi^2 J}{4a^2}.$

Прав ли я?

[amon]

Mathew Rogan в сообщении #1696657 писал(а):

Прав ли я?

Похоже, правы.

[Geen]

Mathew Rogan в сообщении #1696657 писал(а):

Если учесть изображения в другом зеркале, получится такой же ряд

Не такой же, а "сдвинутый" на $2a$... и он уже учтён.

[Mathew Rogan]

Источник на расстоянии $a$, в правом зеркале изображения источника на расстояниях $3a, 5a, 7a...$

В левом зеркале изображения на расстояниях $a, 3a, 5a, 7a...$

В итоге два одинаковых ряда.

[Geen]

Mathew Rogan в сообщении #1696695 писал(а):

Источник на расстоянии $a$

а путь через два зеркала $4a$

[Mathew Rogan]

Geen в сообщении #1696698 писал(а):

а путь через два зеркала $4a$

Не уловил.

Почему меня сразу смутил ответ из книги: даже если ограничиться рассмотрением реального источника и только его первого изображения в левом зеркале, освещённость в исследуемой точке уже составит $\frac{2J}{a^2}$. А это больше, чем $\frac{\pi^2 J}{8a^2}$.

[Cos(x-pi/2)]

Mathew Rogan
Наверное в книжке вот как сделан расчёт (и, думаю, это правильно). Считается, что в зеркалах возникают изображения источника, и изображения изображений источников, и все они имеют одинаковую яркость. Тогда на рисунке зеркала можно вообще убрать, и нарисовать только все такие свтящиеся изображения.

Ниже на рисунке я все лучи изобразил под небольшим углом к горизонтали, чтобы они не накладывались друг на друга, но считается, что они горизонтальные. Вертикальные тонкие линии L и R показывают положение левого и правого зеркала. Штриховая вертикальна линия - положение источника (свечки, она изображена светлым кружком с буквой S).

Остальные светлые кружки это изображения в зеркалах: $L_1$ первое изображение свечки в левом зеркале. $R_1$ - первое изображение свечки в правом зеркале. $L_2$ - второе изображение свечки в левом зеркале, т.е. это изображение изображения $R_1.$ Аналогично и $R_2$ это изображение в правом зеркале изображения $L_1.$ И так далее.

Чёрные кружки с цифрами $1,3,5,7,...$ и со стрелками около них показывают точку $O,$ в которой подсчитывается результат. Стрелки символизируют приходящие в эту точку лучи, а цифры это количество промежутков длиной $a$ до точки $O$ от соответствующего светящегося изображения:



Видно, что при таком учёте всех многократных отражений получается как раз тот ответ, который приведён в книге.

[Mathew Rogan]

Но ведь лучи из $L_1, L_2, ...$ тоже приходят в точку $O$. Почему мы это не учитываем?

[EUgeneUS]

Если кратко, изображения источника в левом зеркале не вносят вклад в освещенность на поверхности левого зеркала.
Что и проиллюстрировано уважаемым Cos(x-pi/2).

Отмечу только, что по определению освещенности и нужно учитывать поток с одной стороны.

-- 07.08.2025, 17:22 --

Mathew Rogan в сообщении #1696711 писал(а):

Почему мы это не учитываем?

Потому что нет никакой освещенности "в точке".
Есть освещенность в точке поверхности. И учитывается поток с одной стороны поверхности.

[Mathew Rogan]

Cos(x-pi/2), EUgeneUS

Спасибо за разъяснения.

[Cos(x-pi/2)]

Mathew Rogan в сообщении #1696711 писал(а):

Но ведь лучи из $L_1, L_2, ...$ тоже приходят в точку $O$.

Нет. Можно ещё вот как ответить: весь свет из $L_1$ уходит к правому зеркалу, и возвращается от правого зеркала в точку $O$ как из источника-изображения $R_2.$ При не строго перпендикулярном (нормальном) падении света на зеркала это прямо видно из рисунка. Считается, что это так и при строго нормальном падении. Ну или представьте себе, что точка $O$ это маленький глаз (или фотоприёмник), который смотрит направо; учитывается тот свет, который этот глаз видит перед собой, а не с затылка.