Принцип вполне упорядочивания

[Dedekind]

Принцип вполне упорядочивания, как он звучит в моем курсе: пусть $A$ - упорядоченная область целостности. Если в любом подмножестве из положительных элементов $A$ существует наименьший элемент, то говорят что $A$ подчиняется принципу вполне упорядочивания.

Однако дальше, для доказательства одной теоремы, автор использует принцип вполне упорядочивания не на подмножестве из положительных элементов, а на подмножестве из неотрицательных, никак это не комментируя. Попробовал доказать сам, посмотрите, пожалуйста, насколько это валидно.

Пусть $A^{+}$ - подмножество всех положительных элементов $A$, а $A^{\ge 0}$ - подмножество всех неотрицательных. Тогда, существует возрастающая биекция $f(x) = x + 1$ из $A^{\ge 0}$ в $A^{+}$. Тогда, если в одном из множеств найдется минимальный элемент, то найдется минимальный элемент и в другом. Следовательно, принципы вполне упорядочивания на положительном и неотрицательном подмножествах - эквивалентны.

[mihaild]

А область целостности обязана содержать единицу? (есть разные определения) Если да, то рассуждение правильное.

Но ИМХО определение очень странное. Например пустое множество - это подмножество из положительных элементов, и где в нем наименьший? Лучше, наверное, так:
Упорядоченное множество называется вполне упорядоченным, если любое его непустое подмножество содержит наименьший элемент.
Докажите, что если упорядоченное множество $A$ представляется как $A = B \cup C$, где $B$ вполне упорядоченно (относительно того же порядка), а $C$ конечно, то $A$ вполне упорядоченно.

Ваше определение вполне упорядоченной области целостности соответствует (после исправления) вполне упорядоченности множества положительных элементов. И по утверждению выше из этого следует вполне упорядоченность множества неотрицательных элементов.

[Dedekind]

mihaild в сообщении #1696607 писал(а):

А область целостности обязана содержать единицу?

Да, в этой книге единица входит в определение области целостности.

mihaild в сообщении #1696607 писал(а):

Но ИМХО определение очень странное. Например пустое множество - это подмножество из положительных элементов, и где в нем наименьший?

Это потому что я очень внимательный, и не переписал условие, что все это только для непустых подмножеств:)

mihaild в сообщении #1696607 писал(а):

Докажите, что если упорядоченное множество $A$ представляется как $A = B \cup C$, где $B$ вполне упорядоченно (относительно того же порядка), а $C$ конечно, то $A$ вполне упорядоченно.

Как-то так? Берем минимальный элемент $b$ в $B$ и по очереди сравниваем его с каждым из $C$, что можно сделать, поскольку $C$ конечно. Если $b$ меньше или равно каждому элементу из $C$, то $b$ минимальный элемент в $A$. Если найдется $c\in C$ такой, что $c<b$, то ищем минимальный элемент в $C$, что опять же, можно сделать за конечное число шагов. Тогда он и будет минимальным в $A$.

-- 07.08.2025, 21:32 --

Хотя, видимо, то что выше, это доказательство только того, что $A$ содержит наименьший элемент, но не каждое непустое подмножество $A$. Тогда нужно еще добавить, что если $D\subseteq A$ и $D \ne \varnothing$, то $D = A\cap D = (B \cup C) \cap D = (B\cap D) \cup (C \cap D)$. Тогда $B\cap D$ является подмножество $B$ и, следовательно, содержит минимальный элемент (если не пусто), а $C \cap D$ - подмножество $C$, и, следовательно, конечно. Причем, одно из них должно быть непустым. Следовательно, по тем же рассуждениям, что и выше, получаем что $D$ содержит минимальный элемент.