Когда сумма кубов делителей равна квадрату числа?

[gipokrat]

Натуральное число $n$ назовём непривычным, если сумма кубов всех его собственных делителей (включая 1) равна $n^2$.
Имеется предположение, что единственным непривычным числом является число 6. Как это доказать или опровергнуть?

[wrest]

gipokrat в сообщении #1696485 писал(а):

Имеется предположение, что единственным непривычным числом является число 6.

Если сумма кубов всех делителей включая само число, то такое только единица.

[gipokrat]

wrest
В условии спрашивается о собственных делителях.

[wrest]

Вычисления показывают что до $10^7$ непривычное только 6
Те у кого сумма кубов собственных делителей являются степенью большей единицы,идо $10^7$ несколько:
4
6
99
224
6527
9087623
Кроме 224 -- все суммы это квадраты, у 224 сумма кубов собственных делителей - куб. Но не самого числа 224.

[Shadow]

Пусть $p$ - наименьший простой делитель $n$. Тогда должно выполнятся $\left(\dfrac n p\right)^3<n^2$. Тоесть, $n<p^3$

Конечно, $n=p,p^2$ невозможно, остается $n=pq$ где $q>p$ простое.

$1+p^3+q^3=p^2q^2$

Случай $p=2$ легко проверяется до $n<8$. (а также $q=3$) А если $p$ нечетное, то $q^2 \mid 1+p^3$, что невозможно т.к $p+1<q^2, p^2-p+1<q^2$

[nnosipov]

Shadow в сообщении #1696491 писал(а):

$1+p^3+q^3=p^2q^2$

Кстати, это уравнение легко решить не только в простых числах, но и в произвольных целых.

[Shadow]

nnosipov в сообщении #1696497 писал(а):

Shadow в сообщении #1696491 писал(а):

$1+p^3+q^3=p^2q^2$

Кстати, это уравнение легко решить не только в простых числах, но и в произвольных целых.

$(q^2-p)(p^2-q)=pq+1$

Если $0<p<q$, то

$q^2-p>pq$

остальное детали.

[wrest]

Shadow
Есть числа (составные) у которых сумма кубов собственных делителей больше квадрата самих этих чисел, и есть такие у которых меньше. И только у шестёрки совпадает.
Например, сумма кубов собственных делителей меньше квадрата самого числа:
$10000483=2083 \cdot 4801; 1+2083^3+4801^3=119699040189<10000483^2$
Например, сумма кубов собственных делителей больше квадрата самого числа:
$10002877=211\cdot 47407;1+211^3+47407^3=106543622322075>10002877^2$

[nnosipov]

wrest
В этом нет ничего удивительного: достаточно нарисовать кривую $1+p^3+q^3=p^2q^2$ и посмотреть, на какие области она разбивает квадрант $p>0$, $q>0$. А то, что на этой кривой лежит конечное (на самом деле, только две) множество точек с натуральными координатами, следует из общих соображений типа теоремы Зигеля.

[Shadow]

wrest
Я не совсем понимаю что вы оспариваете: Решение уравнения $1+p^3+q^3=p^2q^2$ в простых числах, или аргументацию его получения.

[wrest]

Shadow в сообщении #1696525 писал(а):

Я не совсем понимаю что вы оспариваете: Решение уравнения $1+p^3+q^3=p^2q^2$ в простых числах

Я не оспариваю, я не понимаю суть решения -- вы берете наименьший простой делитель $n$ равный $p$ и говорите что пусть $n=pq$. Но почему, тогда, $q$ простое?
Ну да ладно, кому надо -- тот понял.

[nnosipov]

wrest в сообщении #1696529 писал(а):

Но почему, тогда, $q$ простое?

Если оно составное, то у него будут простые делители, хотя бы два, при этом они не меньше, чем $p$. Но $n<p^3$.

[Shadow]

Тоесть, аргументацию.
wrest Вначале я отсеиваю те числа, у которых куб наибольшего собственого делителя уже больше квадрата самого числа. Если у $n$ наименьший простой делитель $p$, то наибольший собственный будет $\dfrac n p$

И если $\left(\dfrac n p\right)^3 \ge n^2$ то чего тут рассматривать то. Значит необходимое (но не достаточное конечно) условие для решения:

$n<p^3 \quad \quad(*)$

составные числа, меньше куба своего наименьшего простого делителя. Они могут быть

$p^2,pq$, где $p<q<p^2$

(если $q>p^2$, или имеются еще простые больше $p$, то не выполняестя условие $(*)$

[wrest]

nnosipov в сообщении #1696532 писал(а):

Но $n<p^3$.

Почему? Вот есть число $n=10002877=211\cdot 47407$ Наименьший простой делитель $p=221$ и тогда $n=10002877>p^3=211^3=9393931$

-- 06.08.2025, 20:24 --

Shadow в сообщении #1696533 писал(а):

Вначале я отсеиваю те числа, у которых куб наибольшего собственого делителя уже больше квадрата самого числа.

А, вот это у меня и не отложилось.

[vicvolf]

(Оффтоп)

Shadow в сообщении #1696533 писал(а):

Тоесть, аргументацию.

Пишется "то есть".