Система уравнений 3X3

[EXE]

Человек хотел быть уверен, что в заданной области он не пропустил ни одного решения. Здесь же сформулируем так: найти все решения данной системы уравнений.

$$\left\{ \begin{array}{rcl} x_1+0.5\sin(x_1)+0.5x_2+0.25\sin(x_2)+1.5x_3+0.75\sin(x_3)=0 \\ x_1+x_2+x_3=0 \\ x_1+0.3\cos(x_1)+0.5x_2+0.15\cos(x_2)+1.5x_3+0.45\cos(x_3)=0 \\ \end{array} \right.$$

Подсказка: пример очень простой.

[EXE]

Несколько вариантов: можно рассмотреть сочетание второго уравнения с первым, второго с третьим, а можно перейти к плоскому случаю, - к системе 2X2, выразив какую-либо переменную через две оставшиеся. Множество решений счётно, и решения имеют сдвоенный период. Например, первое уравнение со вторым задают непрерывную линию в 3d, двигаясь по которой в обоих направлениях, мы находим решения в момент её пересечения с поверхностью, задаваемой третьим уравнением. По нескольким подряд решениям мы находим периоды решений, их 2.
Восемь решений подряд и суммарная невязка:
1, [-18.9912787270005, 9.22212272771546, 9.76915599928403], 1.46641708020958642*10^(-6)
2, [-14.5370455433140, 7.53785990168067, 6.99918564163235], 1.27254812968938608*10^(-7)
3, [-6.42490955356738, 2.93893816629432, 3.48597138727206], 5.44943774086135138*10^(-8)
4, [-1.97067484113444, 1.25467459900756, .716000242125873], 9.85273778762821502*10^(-9)
5, [6.14146092710917, -3.34424707232317, -2.79721385478700], 7.61600649278078841*10^(-8)
6, [10.5956960463666, -5.02851068031868, -5.56718536604894], 3.75886183513684916*10^(-7)
7, [18.7078309520734, -9.62743207677900, -9.08039887529540], 6.52440893534567358*10^(-7)
8, [23.1620676436284, -11.3116959083855, -11.8503717352438], 1.73254452257050154*10^(-6)

[Dendr]

Сделав замену $x_1=-2a, x_2=a-d, x_3=a+d$, гарнатируем выполнимость второго уравнения и придем к системе двух уравнений:

$$\left\{ \begin{array}{rcl} d= 0.5\sin(2a)-\sin(a)\cos(d)-0.5\cos(a)\sin(d)\\ d= -0.3\cos(2a)-0.6\cos(a)\cos(d)+0.3\sin(a)\sin(d)\\ \end{array} \right.$$

Сразу видно ограничение $|d|<0.9$, пробная подстановка $d=0$ не дает решения.

Если ввести переменную $\sigma=\sin(a)$, и построить графики неявных функций $\sigma(d)$, то получится такая картинка:

(Поскольку цвета слились - пояснение: один график - деформированная восьмерка, второй - скругленный треугольник)
Исключая "мусорные" решения на месте пересечения разных ветвей квадратного корня $\sqrt{1-\sigma^2}$, получаем две точки - на картинке они помечены.
Они, таким образом, дают два семейства решений, у каждого свое $d$.

-- 06.08.2025, 15:00 --

Собственно, "порождающие" значения приблизительно равны:

$$d_1=-0.26934, \sin{a_1}=0.83346$$

$$ d_2=0.27352, \sin{a_2}=-0.708$$

(на рисунке ошибся, значит, с ветвями, но оставлю как иллюстрацию)

[EXE]

Dendr, это было хокку? Вы убрали 2-е уравнение, практически найдя его решение, но это не решение третьего уравнения. Собственно, по этой причине Вы решение системы и не найдёте, и не покажете. Обычно избавляться от переменной, выражая её через другие. Например, это система 2X2 эквивалентна исходной, с учётом очевидной замены.

$$\left\{ \begin{array}{rcl} -0.5x_1+0.5\sin(x_1)-x_2+0.25\sin(x_2)+0.75\sin(-x_1-x_2) = 0 \\ -0.5x_1+0.3\cos(x_1)-x_2+0.15\cos(x_2)+0.45\cos(-x_1-x_2) = 0 \\ \end{array} \right.$$

[Dendr]

Не понял. Как "не найду", если уже нашел? Я же не сделал ничего революционного - просто выбрал подстановку, которая превращает одно уравнение в тождество $0=0$, а два других, после раскрытия скобок, превращают систему "три для трех" в "два для двух". Причем почти всё оказывается под синусом, кроме одного линейного слагаемого. Графическим способом показывается, что есть ровно два "семейства" - и это уже отправная точка для численного решения.

И да, полное решение задачи умещается в двух строчках. Вот с точностью до 13-го знака, проверьте:

$$d_1=-0.2693371823306; a_1=0.9853374166312+2\pi n$$

$$d_2=0.2735166094473; a_2=-3.0707305026068+2\pi n$$

Решения исходной системы, повторюсь, $x_1=-2a, x_2=a+d, x_3=a-d$.

Например, в вашем списке решение 1 соответствует второму "семейству" при $n=2$, а решение 2 - первому при $n=1$. И так далее (они, как видно, чередуются, а $n$ убывает).

[EXE]

Dendr, да, всё точно, я не досмотрел. Можно сказать, Вы молодец. Но это Вам повезло со 2-м уравнением.

Покажу, если интересно, как выглядит процесс нахождения ранее показанных решений. На графике поверхность первого уравнения голубая, третьего зелёная, плоскость серая. Чёрные точки это решения, линия соответствует первым двум уравнениям, её пересечение с поверхностью третьего уравнения происходит в чёрных точках.