О возможности существования длинной цепочки точных кубов

[gipokrat]

В ряд выписаны 2025 различных натуральных чисел, причём каждое следующее равно сумме цифр предыдущего.
Могло ли оказаться так, что все эти числа являются точными кубами?

(Источник задачи: Математический кружок 8-го класса, задача №7.)

Попытка решения:

У числа, составленного из одних девяток, куб будет иметь сумму цифр, равную количеству этих самых девяток, умноженному на 18. Однако этот факт никак не помогает нам в решении задачи, поскольку 18 является чётным числом.

Будьте добры, наведите на мысль.

[mihaild]

Строить стоит в обратную сторону - как по $n^3$ построить $m^3$ такое что сумма цифр $m^3$ равна $n^3$?

[wrest]

Я нашел последовательность из трёх:

$39677989979796875=341075^3,125=25^3,8=2^3$

[Shadow]

gipokrat в сообщении #1696005 писал(а):

У числа, составленного из одних девяток, куб будет иметь сумму цифр, равную количеству этих самых девяток, умноженному на 18. Однако этот факт никак не помогает нам в решении задачи, поскольку 18 является чётным числом.

Ну сделайте нечетный куб четным. И сумму его цифр не меняйте.

[waxtep]

wrest в сообщении #1696017 писал(а):

Я нашел последовательность из трёх

Я тоже, если не наврал:

$$216\leftarrow\left(10^{12}-1\right)^3\leftarrow\left(10^k-7\right)^3,k=\frac12\left(\frac19\left(10^{12}-1\right)^3-1\right)$$

но далее рука бойцов колоть устала Поскольку разных остатков по модулю $6$ не так много, видимо можно за конечное время и дальше расписать, и похоже ответ "да"

[Null]

Нужно брать такие числа чтобы $S(k^3)=(S(k))^3$, где $S$ - функция считающая сумму цифр.

[wrest]

waxtep в сообщении #1696046 писал(а):

Я тоже, если не наврал:

$$216\leftarrow\left(10^{12}-1\right)^3\leftarrow\left(10^k-7\right)^3,k=\frac12\left(\frac19\left(10^{12}-1\right)^3-1\right)$$

Первое $\left(10^{12}-1\right)^3$ подходит, второе $\left(10^k-7\right)^3$ проверить прямым подсчётом не удалось ибо $k=55555555555388888888889055555555555$

[Shadow]

Значит, топикстартер заметил, что кубы чисел из одних девяток имеют хорошую структуру и их сумма цифр легко вычислить - сумма куба числа из $k$ девяток равна $18k$

Значить, чтобы вычислить предыдущее число, надо решить уравнение $18x=a_n$. Проблема в том, что $a_n$ - нечетное число. Я подсказал ему что сумма куба числа из $k$ девяток и ноль в конце тоже равна $18k$. И решает его проблему.

(Оффтоп)

$a_{k-1}=(10^{a_k/18}-1)^3\cdot 10^3$

[mihaild]

(Оффтоп)

Ну раз уж пишут полное решение, мой вариант: $a_{k - 1} = \left(\sum\limits_{i=1}^{\sqrt[3]{a_k}} 10^{4^i}\right)^3$.

[waxtep]

Shadow в сообщении #1696054 писал(а):

и ноль в конце

(голосом доктора Ватсона) Ну конечно же!..

[wrest]

Интересно глянуть на того 8-классника, для которого задача...

[waxtep]

wrest в сообщении #1696077 писал(а):

Интересно глянуть на того 8-классника, для которого задача...

+1. И ещё назревает вопрос о минимальной такой последовательности...

[maxmatem]

(Оффтоп)

Цитата:

Интересно глянуть на того 8-классника, для которого задача...

Так это листик и задача из кружка ЦПМ.... я как понял там таких задачек ребятки не боятся ) хотя по мне как то тяжеловато для 8 класса. такого сорта есть в егэ но по проще , только без кубов
Даны три различных натуральных числа такие, что второе число равно сумме цифр первого, а третье — сумме цифр второго.

а) Может ли сумма трёх чисел быть равной 420?

б) Может ли сумма трёх чисел быть равной 419?

в) Сколько существует таких троек чисел, что первое число — трёхзначное, а последнее равно 5?.

[Shadow]

(Оффтоп)

maxmatem в сообщении #1696245 писал(а):

я как понял там таких задачек ребятки не боятся

Тут задача другого уравня. Я бы заменил кубы на квадраты. Все таки $9$ - квадрат и числа вида $\left(\dfrac{10^k \pm a}{3}\right)^2$ имеют хорошую структуру и легче их отыскать.

[maxmatem]

ShadowЯ и не спорю … там эта задача последняя в листочке, но без звездочки ..да с квадратами по проще будет однозначно