Скобки Схоутена и симметричное произведение, док. тождества

[UmnyjDurak]

Примем следующее обозначение: $\frac{\partial}{\partial x^{j_1}} \frown \dots \frown \frac{\partial}{\partial x^{j_t}} = \sum\limits_{\sigma}^{} \frac{\partial}{\partial x^{\sigma (j_1}} \otimes \dots \otimes \frac{\partial}{\partial x^{j_t)}}$, где сумма берется по всем перестановкам индексов. Теперь определим (по Геометрическим методам Катанаева) симметричное тензорное произведение симметричных контравариантных тензоров $K$ порядка $k$ и $L$ порядка $l$:

$K \frown L = \frac{1}{(k+l)!}M^{j_1 \dots j_{k+l}} \frac{\partial}{\partial x^{j_1}} \frown \dots \frown \frac{\partial}{\partial x^{j_{k+l}}}$,

$M^{j_1 \dots j_{k+l}}=\frac{1}{k!l!}\sum\limits_{\sigma}^{}K^{\sigma(j_1 \dots \j_k}L^{j_{k+1} \dots j_{k+l})}$,

а также скобку Схоутена:

$[K,L]^{j_1 \dots j_{k+l-1}} = \frac{1}{(k+l-1)!}(\sum\limits_{\sigma}^{}kK^{i\sigma (j_1 \dots j_{k-1}}\frac{\partial L^{j_k \dots j_{k+l-1})}}{\partial x^i} - \sum\limits_{\sigma}^{}lL^{i\sigma (j_1 \dots j_{l-1}}\frac{\partial L^{j_l \dots j_{k+l-1})}}{\partial x^n})$.

Определение скобки Схоутена вроде специально такое, что должно быть выполнено тождество:
$[T \frown K, L] = [T,L] \frown K + T \frown [K,L]$.
Я его хочу доказать по индукции по $k$ для двух случаев - первый для $l=0, L=f$ и второй для $l>0$, но у меня почему-то не выходит равенство в обоих случаях при $k=1, K=\frac{\partial}{\partial x^n}$.

Вот например для начала попробуем доказать, что $[T\frown \frac{\partial}{\partial x^n}, f] = [T,f] \frown \frac{\partial}{\partial x^n}+ T \frown [\frac{\partial}{\partial x^n},f]$:

$[T\frown \frac{\partial}{\partial x^n}, f]^{j_1 \dots j_t}=(t+1)(T \frown \frac{\partial}{\partial x^n})^{j_1 \dots j_t i} \frac{\partial f}{\partial x^i}$ $= (t+1)(T^{j_1 \dots j_t}\delta^i_n + T^{j_1 \dots j_{t-1}i}\delta^{j_t}_n + \dots + T^{i j_2 \dots j_{t}}\delta^{j_1}_n) \frac{\partial f}{\partial x^i}$,

$([T,f] \frown \frac{\partial}{\partial x^n})^{j_1 \dots j_t} = ([T,f]^{j_1 \dots j_{t-1}}\delta ^{j_t}_n + \dots + [T,f]^{j_2 \dots j_{t}}\delta ^{j_1}_n)$$=t( T^{j_1 \dots j_{t-1}i}\delta^{j_t}_n + \dots + T^{i j_2 \dots j_{t}}\delta^{j_1}_n )\frac{\partial f}{\partial x^i}$,

$(T \frown [\frac{\partial}{\partial x^n},f])^{j_1 \dots j_t} = T^{j_1 \dots j_t}\frac{\partial f}{\partial x^n}$.

Получается, что у меня возникают лишние коэффициенты $t+1$ и $t$ и тождество не работает, почему так получается я вообще не вижу, видимо где-то делаю ошибку, но где именно?