Найти объем тела (задача на пространственное воображение)

[pppppppo_98]

Задачу можно решать по разному. И в принципе она не сложная. Но для настоящих джедаев предлагаю ее решить в уме не прибегая к помощи бумаги.

Итак есть куб с гранью a. Найти объем тела образованного пересечением этого куба, и этого же куба повернутого на 90 градусов, вокруг оси проходящtй через центры - противоположных параллельных ребер (по диагонали)

[wrest]

Непонятно как это через центры рёбер, но при этом "по диагонали". По диагонали это через [противоположные] вершины...
Ну а так-то думаю, что получится что-то вроде 2/3, если откинуть слова "по диагонали".

[Dan B-Yallay]

wrest

Вложение:

C.jpg

[TOTAL]

Две пирамиды с квадратным основанием плюс параллелепипед: $1/3 + (\sqrt{2} -1)$
Куб единичный. Решал в уме, так что мог ошибиться в несколько раз.

[pppppppo_98]

Берете основание. У него есть диагональ. Из двух крайних точек выходят по ребру не лежащих в плоскости грани. Берете середины этих ребер. Проводите ось. Это и есть ось вращения. Поворачиваете на 90 градусов. Находите пересечение тел.

ЗЫ

Подскажу задача на симметрию.

[Батороев]

pppppppo_98 в сообщении #1695785 писал(а):

Итак есть куб с гранью a. Найти объем тела образованного пересечением этого куба, и этого же куба повернутого на 90 градусов, вокруг оси проходящtй через центры - противоположных параллельных ребер (по диагонали)

Мое мнение $V=a^3$

Я исхожу из того, что указанных осей три и все они пересекаются друг с другом в геометрическом центре куба под прямым углом друг другу . Примем их за оси новых координат. Все три плоскости, проходящие через попарно противоположные ребра (диагонально) - также перпендикулярны друг другу и проходят через начало новых координат. Выделим в этих плоскостях одинаковые квадратные области таким образом, чтобы пересечение дигоналей каждого из квадратов совпадало с соответсвующей осью. Поворот на $90^\circ$ не меняет относительного положения этих квадратов, а следовательно, отностительного положения кубов.

[redicka]

Будет так. См.картинку
https://ibb.co/gbr8zj4v

[EUgeneUS]

redicka в сообщении #1695972 писал(а):

Будет так. См.картинку

А это ничего, что у Вас в скобках число меньше единицы?

[redicka]

EUgeneUS в сообщении #1695974 писал(а):

redicka в сообщении #1695972 писал(а):

Будет так. См.картинку

А это ничего, что у Вас в скобках число меньше единицы?

Так объем пересечения кубов меньше объема исходного куба....

[EUgeneUS]

redicka
Да, верно.
Нужно найти объем пересечения, а не объединения.

[HungryLion]

Если кому такие задачи интересны, то на элементах, помню, была пара похожих задач:
1. Найти отношение объёмов наименьшего и наибольшего правильного октаэдра вписанного в куб.
2. Найти объём тела, образованного вращением куба вокруг его диагонали.

[redicka]

2) Получается такое тело - два конуса и однополостный гиперболоид.
См.картинку.
https://ibb.co/qMz0mHS4

[Батороев]

redicka
В кубе три таких диагонали и Вы считаете, что одна из них не перпендикулярна двум другим и каждая из них не делит первую пополам?

[redicka]

Батороев , такое тело заметает не только целый куб, но и три его соответствующие ребра, соединенных в одну ломанную линию.
При вращении эти ломанные линии образуют такие же тела, как изображено на картинке. Они не совпадают (развернуты относительно друг друга) но имеют одинаковую форму и объем. Для любой (большой)диагонали куба получим один и тот же результат.