Интерполяция в частотной плоскости дискретного Фурье

[MGM]

Дано дискретное разложение Фурье:

${x_n} = \frac{1}{N}\sum\limits_{k = 0}^{N - 1} {{X_k}} {e^{\frac{{2\pi i}}{N}kn}}$
Возьмем две соседние по частоте собственные функции разложения:
${e^{\frac{{2\pi i}}{N}kn}}$ и ${e^{\frac{{2\pi i}}{N}\left( {k + 1} \right)n}}$
Можно ли как выразить коэффициент разложения ${X_{k + dk}}$ ( $ 0 < dk < 1$) несобственной функции ${e^{\frac{{2\pi i}}{N}\left( {k + dk} \right)n}}$ через коэффициенты разложения двух соседних собственных
${X_{k + dk}} = f\left( {{X_k},{X_{k + 1}}} \right)$
Проще говоря, есть ли методика интерполяции в частотном пространстве, или проще брать «ближайшую» собственную частоту?
И что является ближайшей частотой, учитывая, что частота обратно пропорциональна длине волны?

[B@R5uk]

Методики есть, но они все приблизительные. Чуть более точная оценка по трём-четырём точкам для моносинусоидального сигнала. Где-то это я находил в интернетах в статьях, но так сразу не вспомню. Ещё эта тема по-моему здесь уже поднималась.

Заметьте, что для синуса, не укладывающегося целое число раз в период DFT, величина хвостов, а так же соотношение рассматриваемых вами амплитуд (и фаз) будет зависеть от того, как этот синус сфазирован относительно концов отрезка.

С реальными сигналами всё ещё хуже: они содержат обычно небольшие амплитудные и фазово-частотные флуктуации, которые размывают пик вне зависимости от того, как он сфазирован относительно границ окна и как сильно частота синуса отличается от частот гребёнки DFT.

Так что, уточните, пожалуйста, ваши условия: что известно про сигнал и используете ли вы оконные функции и какие?

-- 29.07.2025, 15:19 --

Есть метод Прони ещё. Применимость ограничена, но экспоненциально затухающие сигналы он хорошо должен пережёвывать.

[MGM]

B@R5uk в сообщении #1695759 писал(а):

Методики есть, но они все приблизительные. Чуть более точная оценка по трём-четырём точкам для моносинусоидального сигнала. Где-то это я находил в интернетах в статьях, но так сразу не вспомню. Ещё эта тема по-моему здесь уже поднималась.

Заметьте, что для синуса, не укладывающегося целое число раз в период DFT, величина хвостов, а так же соотношение рассматриваемых вами амплитуд (и фаз) будет зависеть от того, как этот синус сфазирован относительно концов отрезка.

С реальными сигналами всё ещё хуже: они содержат обычно небольшие амплитудные и фазово-частотные флуктуации, которые размывают пик вне зависимости от того, как он сфазирован относительно границ окна и как сильно частота синуса отличается от частот гребёнки DFT.

Так что, уточните, пожалуйста, ваши условия: что известно про сигнал и используете ли вы оконные функции и какие?

-- 29.07.2025, 15:19 --


Есть метод Прони ещё. Применимость ограничена, но экспоненциально затухающие сигналы он хорошо должен пережёвывать.

Задача проекции под некоторым углом. Похоже на интерференцию точечного сигнала с разделением двумя оттверстиями. То есть прективная волна перпендикулярна а второе отверстие под углом к плоскости. и фазовая длина волны второго источника увеличивается. То, что было высокой частотой - становится более низкой.

Но по сути, пытаюсь сделать быстрое дискретное преобразование Радона. А посему сложные коррекционные вычисления. Знаю, как минимум три быстрых алгоритма. Но мне они кажутся слишком неестесвенными. А самые лучшие алгоритмы - которые простые.

[B@R5uk]

Если модель известна, то, наверное, лучше будет подогнать данные под модель.

[MGM]

B@R5uk в сообщении #1695762 писал(а):

Если модель известна, то, наверное, лучше будет подогнать данные под модель.

Проблема в том, что алгоритмы обратного Радона пубикуют исключительно в интегральной форме. Моя попытка просто перевести формулу из Вики в дискрет, как это ни странно привела меня к удивительному успеху. Синтезированные синограммы обычных тестовых картинок - типа портретов, с точностью до контраста (var) реконструируются с точностью до 35dB - где-то близко к повороту дискретной картинки на произвольный угол и обратно. Подозреваю, комерческие алгоритмы так и устроены. Но это не быстрый алгоритм. $O(N^3)$
А все быстрые, как раз включают интерполяцию уже в частотной плоскости. DeepSeek посоветовал брать ближайшее. Ну или линейную комбинацию. Последнее мне не кажется правдоподобным.