Иррациональные числа как группа

[Dedekind]

Иррациональные числа не являются группой относительно обычного умножения (и сложения). Но нельзя ли каким-то хитрым образом определить "кастомное" умножение так, чтобы все-таки сделать из них группу?

[пианист]

Легко. Биективно отобразить на вещественные.
Отображаем туда, умножаем/складываем, затем назад. Voila!

[dgwuqtj]

Если надо, чтобы получилась топологическая группа, то можно взять гомеоморфизм $\mathbb R \setminus \mathbb Q \cong \mathbb Z \times \mathbb N ^{\mathbb N}$ из разложения в цепную дробь. А на $\mathbb Z^{\mathbb N}$ есть покомпонентное сложение.

[Anton_Peplov]

Dedekind
Я чего-то не понимаю, или Ваш вопрос сводится к "можно ли ввести структуру группы на множестве континуальной мощности"? Очевидно, можно, причем бесконечным количеством способов (самый очевидный уже подсказали). Или у Вас есть особые пожелания к групповой операции?

Может быть, Вы хотите определить умножение $a \odot b$ на $\mathbb I$ так, чтобы оно "почти нигде" не отличалось от обычного умножения вещественных чисел $a \cdot b$? Т.е. существует иррациональная единица $e \in \mathbb I \colon \forall a \in \mathbb I \ a \odot e = e \odot a = a$, но $\forall a, b \ne e \ a \odot b = a \cdot b$? Если Вы хотите именно этого, то не получится.

[Dedekind]

пианист
Хм, действительно, спасибо.

dgwuqtj
А что означают символы $\mathbb N ^{\mathbb N}$ и $\mathbb Z^{\mathbb N}$?

Anton_Peplov в сообщении #1695529 писал(а):

Или у Вас есть особые пожелания к групповой операции?

Да, в целом тривиальный вопрос, как оказалось. Особых пожеланий никаких не имел в виду.

Anton_Peplov в сообщении #1695529 писал(а):

Если Вы хотите именно этого, то не получится.

Да, это я понимаю, у нас же бесконечное количество иррациональных, которые при умножении дают рациональное.

[Anton_Peplov]

Dedekind в сообщении #1695717 писал(а):

А что означают символы $\mathbb N ^{\mathbb N}$ и $\mathbb Z^{\mathbb N}$?

Это обозначения из теории множеств. Множество всех функций $X \to Y$ обозначается $Y^X$.

[Dedekind]

Anton_Peplov
Понятно, спасибо.