Универсальный делитель нуля

[Geen]

Пусть имеется не тривиальное кольцо с не тривиальным умножением (но, возможно, без 1).
Может ли существовать такой элемент $x\ne0$, что $\forall a:\ xa=0$?
Эквивалентно ли это существованию нетривиального решения "уравнения" $\forall a:\ xa=x$?

[mihaild]

Верхнетреугольные матрицы с нулями на диагонали не подходят? А универсальный делитель - у которого в верхнем правом углу не ноль, в остальных позициях ноль.

Geen в сообщении #1695389 писал(а):

Эквивалентно ли это существованию нетривиального решения "уравнения" $\forall a:\ xa=x$?

Тут как минимум надо $\forall a \neq 0$ (потому что $x\cdot 0 = 0$ всегда).

[Geen]

Наверное я что-то не понимаю, либо плохо объяснил. Попробую написать точнее.

Пусть имеется кольцо $R$ и $\exists a,b\in R:\ ab\ne0$.
Существует ли такое $R$, что утверждение $\exists x\in R:\ \forall a\in R:\ xa=0$ верно?
Существует ли такое $R$, что утверждение $\exists x\in R:\ \forall a\in R:\ xa=x$ верно?
Совпадают ли соответствующие "множества" колец?

-- 25.07.2025, 17:10 --

Либо читать разучился

mihaild в сообщении #1695392 писал(а):

А универсальный делитель - у которого в верхнем правом углу не ноль, в остальных позициях ноль.

Спутал право с лево

[mihaild]

Geen в сообщении #1695394 писал(а):

Существует ли такое $R$, что утверждение $\exists x\in R:\ \forall a\in R:\ xa=0$ верно?

(считаю, что тут и ниже потерялось $x \neq 0$)
Да, кольцо верхнетреугольных матриц с нулями на диагонали.
В качестве $x$ можно взять $\begin{pmatrix} 0 & \dots & t \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & \dots & 0 \end{pmatrix}$ для $t \neq 0$.

Geen в сообщении #1695394 писал(а):

Существует ли такое $R$, что утверждение $\exists x\in R:\ \forall a\in R:\ xa=x$ верно?

Нет, подстановка $a = 0$ дает $x = 0$.
Если добавить $a \neq 0$, то сходу не знаю.

[Geen]

mihaild
Спасибо!

[dgwuqtj]

mihaild в сообщении #1695395 писал(а):

Если добавить $a \neq 0$, то сходу не знаю.

Подойдёт поле $\mathbb F_2$ из двух элементов.

[Geen]

dgwuqtj
Точно, спасибо!

-- 25.07.2025, 17:28 --

А если в первом вопросе ограничиться кольцами с 1?

[dgwuqtj]

Geen в сообщении #1695399 писал(а):

А если в первом вопросе ограничиться кольцами с 1?

То подставляем $a = 1$ и получаем $x = 0$.

[Geen]

dgwuqtj
Спасибо!

Сегодня явно не мой день