Скачок теплоемкости в модели БКШ

[intex2dx]

Хочу найти скачок теплоемкости в модели БКШ. Считаю энергию квазичастичных возбуждений при $T \rightarrow T_c-0$:

$$ E(T,\Delta(T)) = \frac{g_F}{2} 2 \int\limits_{0}^{\infty} d\xi \frac{\sqrt{\xi^2 + \Delta^2}}{e^{\frac{\sqrt{\xi^2+\Delta^2}}{T}}+1} = [\xi = Tx, \Delta = T u]=\frac{mVp_F}{\pi^2} T^2 \int\limits_{0}^{\infty} dx \frac{\sqrt{x^2+u^2}}{e^{\sqrt{x^2+u^2}}+1} \equiv \frac{mVp_F}{\pi^2}T^2 J(u)$$

Здесь верхний предел интегрирования был выставлен бесконечностью, а не $\omega_D$, т.к. $T_c \ll \omega_D$.
Итак, задача свелась к нахождению асимптотики интеграла $J(u)$ при $u = \Delta/T \ll 1$. Заметим, что:

$$J(u) = \frac{1}{2}\int\limits_{0}^{\infty} dx \sqrt{x^2 + u^2} \left[1-\th\left(\frac{\sqrt{x^2+u^2}}{2}\right)\right] \equiv \frac{J_1(u) + J_2(u)}{2}$$

Здесь:

$$J_1(u) \equiv \int\limits_{0}^{\infty} dx \left(\sqrt{x^2+u^2} - x\th{\frac{x}{2}}\right) = \left[\frac{1}{2}x \sqrt{u^2 + x^2} + u^2 \tanh^{-1}{\left(\frac{x}{\sqrt{u^2+x^2}}\right)} -\frac{x^2}{2} \th{\frac{x}{2}}\right] \bigg{|}^{\infty} + $$

$$+\int\limits_{0}^{\infty} \frac{x^2 dx}{4} \frac{1}{\ch^2{x/2}}$$

Здесь $\tanh^{-1}$ - гиперболический арктангенс. Первый член был проинтегрирован в лоб, второй - по частям. Упрощая, получим:

$$J_1(u) = \frac{\pi^2}{6} + \frac{u^2}{2} \ln{\frac{2x}{u}} \bigg{|}^{\infty}$$

Полученная логарифмическая расходимость сократится вторым интегралом, который определяется как:

$$J_2(u) \equiv \int\limits_{0}^{\infty} \left[x\th{\frac{x}{2}} - \sqrt{x^2+u^2} \th{\frac{\sqrt{x^2+u^2}}{2}}\right] $$

Его придется считать приближенно в пределе $u \ll 1$:

$$J_2(u) \approx -\frac{u^2}{2} \int\limits_{0}^{\infty} \frac{dx}{x} \left(x\th{\frac{x}{2}}\right)'=-\frac{u^2}{2}\left[\int\limits_{0}^{\infty} \frac{dx}{x}\th{\frac{x}{2}} + \frac{1}{2}\int\limits_{0}^{\infty} dx \frac{1}{\ch^2{(x/2)}}\right] =$$

$$= -\frac{u^2}{2} \left[\ln{x}\th{\frac{x}{2}} \bigg{|}^{\infty} - \int\limits_{0}^{\infty} \frac{\ln{x}dx}{2\ch^2{(x/2)}}+1\right]= -\frac{u^2}{2} \left[\ln{x}\bigg{|}^{\infty} - \ln{\frac{\pi}{2\gamma}}+1\right]$$

Здесь $\gamma = \exp(C)$, где $C \approx 0.577$ - постоянная Эйлера Маскерони.
Суммируя интегралы $J_1, J_2$, получим окончательно:

$$J(u) \approx \frac{\pi^2}{12} + \frac{u^2}{4} \left[\ln{\frac{\pi}{\gamma u}} - 1\right], u \ll 1$$

Построил в Mathematica - не очень уверенно асимптотика совпадает с интегралом. Так что первый вопрос - верна ли эта асимптотика?
Что мне не нравится - то что для энергии я получаю:

$$E(T,\Delta(T)) \approx E(T,0) + \frac{mVp_F}{4\pi^2} \Delta^2 \left[\ln{\frac{\pi T}{\gamma \Delta}} - 1\right]$$

Учивая, что $\Delta^2 \sim T_c - T$, имеем функцию вида $x (\# \ln{x} - 1)$ по переменной $x=T_c - T$, и эта функция не имеет конечной производной при $x\rightarrow 0$, то есть скачок теплоемкости бесконечен, что неверно.
Так что второй вопрос: что я сделал не так и содержится ли проблема в вычислении асимптотики интеграла или в чем-то другом?