Диофантовые уравнения вида a^6+b^6+c^6+..=k^6

[GaloisDiophantine]

Изучая диофантовые уравнения обнаружил что очень малое количество авторов и материала в интернете связанный с этой областью. Может действительно все связано с очень сложными оссобенностями решения таких уравнений?

$$a^6+b^6+c^6=d^6>10^{20}$$

$$a^6+b^6+c^6+d^6=e^6>10^{10}$$

$$a^6+b^6+c^6+d^6+e^6=f^6 >2200000$$

$$a^6+b^6+c^6+d^6+e^6+f^6=g^6 >730000$$

Упоминая про первые два уравнения впринципе не видел нигде. Все что известно на сегодняшний в пределах вычеслений было проверено, очень большое количество диапозонов, но пока не обнаружено никаких примеров. Может возможно доказать, что решения есть хотябы для последних двух уравнений? Что весьма интересно некоторые уравнения образуют весьма причудливые спорадические группы решений.
Возможные идеи и факты:
если воспользоваться равенством для суммы трёх кубов $x^3+y^3+z^3=1$ можно получить весьма интересную параметризацию дающая сразу два параметра с 6 степенями.

$$(3s^2)^6+(3s(t^3-3s^3))^3+(t(t^3-9s^3))^3=t^{12}$$

После чего можно сделать замену $ t=(a/b)$ и $s=(c/d)

$$ И приравнять второй [math]$3s(t^3-3s^3)=\dfrac{x^2}{b^4}$$

[/math]
Код написанный на коленях выдаёт очень много решений; но в пределах 25000 есть только одно спорадические решение завязанное на $t=\dfrac{3}{13}$ $t=\dfrac{25392}{36985}$ ... ринг: $Y^2=X^3-81$
a;b;c;d→$x^2$→$y^2-$приближение:
1;1;3;13;138;159.380
1;1;6;26;552;637.520
1;1;9;39;1242;1434.420
....
2;1;60;130;55200;63752.020
2;1;66;143;66792;77139.944
2;2;3;13;552;637.520
...
8;1;24;13;8832;10200.323
8;1;48;26;35328;40801.293
8;1;72;39;79488;91802.908
8;2;12;13;8832;10200.323
8;2;24;26;35328;40801.293
8;2;36;39;79488;91802.908
8;2;48;52;141312;163205.170
8;2;60;65;220800;255008.078
8;2;72;78;317952;367211.633
8;2;84;91;432768;499815.833
8;3;8;13;8832;10200.323
8;3;16;26;35328;40801.293
...
Но в основном параметризации играет в роли такая формула, возможно можно получить более подробную формулу, если кто знает как можно вытянуть из этого уравнения $ y ^ 2=d a (d ^ 3 a ^ 3 - 9 (b ^ 3) (c ^ 3))$ какую либо параметризацию ?

$$(\dfrac{3}{t})^3-81=(\dfrac{3y}{t^2})^2$$

$$(\dfrac{27a^2}{169b^2})^6+(\dfrac{138a^2}{169b^2})^6+(\dfrac{1954a^4}{2197b^4})^3=(\dfrac{a}{b})^{12}$$

$$25402^3+3^{18}+138^6=13^{12}$$

вообщем из неё никак из других спорадических формул решения особо не вытянешь. Можно в целом попытаться решить вот такое уравнение:

$$(m^2+n^2-k^2)^2+(2mk)^2+(2nk)^2=(m^2+n^2+k^2)^2$$

$$((\dfrac{b^3}{2k})^2+(\dfrac{a^3}{2k})^2-k^2)^2+(a)^6+(b)^6=((\dfrac{b^3}{2k})^2+(\dfrac{a^3}{2k})^2+k^2)^2$$

И чтобы продолжить надо решить оба уравнения: $b^6+c^6=4k^2(k^2+y^3)$ и $b^6+c^6=4k^2(-k^2+z^3)$ как это сделать тоже трудно представляю возможным, но если кто знает может помочь, где то на форуме видел уравнение Рахими если кто сможет это привести к виду уравнения Рахими с параметризацией буду благодарен.

$$a^6+b^6+c^6+d^6=e^6>10^{10}$$

Насчёт остальных уравнений есть пара интересных параметризаций. Но все таки большинство из них подчиняется правилу бессконечного квадрата квадратов.

$$(a^2+b^2+c^2-d^2)^2+(2ad)^2+(2bd)^2+(2cd)^2=(a^2+b^2+c^2+d^2)^2$$

Всегда остаётся два слагаемых которые нужно привести к форме кубов.
Есть другая специфичная параметризация на кубы, увидел в одном математическом сборнике:
$(24^5a^6+b^6-c^6)^3+(-24a^5a^6+b^6+c^6)^3+(24^5a^6-b^6+c^6)^3+(24abc)^6=(24^5a^6+b^6+c^6)^3$

$$(11x^2+xy+14y^2)^3+(12x^2-3xy+13y^2)^3+(13x^2+3xy+12y^2)^3+(14x^2-xy+11y^2)^3=(20x^2+20y^2)^3$$

.
И ещё их достаточно много, можно вкладывать меньшую в большую.

Для:

$$a^6+b^6+c^6+d^6+e^6=f^6 >2200000$$

Данного уравнения самая большая надежда поскольку нашли очень хорошую линейную параметризацию которая не используют все множители подряд хотя сомнения по сложности вызывает:
$(a+(a+b)\alpha)^3+(a\alpha-b)^3+(c+(c+d)\alpha)^3+(c\alpha-d)^3+\alpha^3=1^6$

$a=\dfrac{x_1+x_2x_5}{r}$ , $b=\dfrac{x_5(x_1-x_2)-x_2}{r}$ , $c=\dfrac{x_3+x_4x_5}{r}$, $d=\dfrac{-x_4+(x_3-x_4)x_5}{r}$, $\alpha=x_5$ , $r=x_5^2+x_5+1$
В общей сложности нужно преобразовать минимум 4 коэффициента.
Для последнего уравнения чего-то использующиего кубы не видел.
Хотя вероятно что скоро его могут найти.

[Ende]

GaloisDiophantine
if Russian is not your native language you can speak English.

[mathpath]

Для натуральных чисел:
Для k=6 известно, что для числа слагаемых (1–5) решений нет (по аналогии с гипотезой Эйлера для k=4 ).
Для большего числа слагаемых (например, 7–8) решения возможны, но для 6 слагаемых строгих результатов нет.
Для g < 10^6 решений не найдено (источник: базы данных Diophantine уравнений, 2023 г.).
Использование модульной арифметики (например, по модулю 7) показывает, что нетривиальные решения должны удовлетворять жестким условиям, но не исключает их полностью.
Решение может существовать, но оно должно быть очень большим, например для g > 10^9.

Работы по суммам степеней (Lander, Parkin, Selfridge, 1960–70-е гг.).

[mathpath]

Любое число в 6-й степени при делении по модулю 7 дает либо 0, либо 1.
Если брать этот критерий, то возможны всего два вариантн - когда слева все числа кратны 7 либо одно из них при деление по модулю 7 дает 1.
Это довольно жестко.

[mathpath]

Пример питоновского кода для случая
a⁶ + b⁶ + c⁶ + d⁶ + e⁶ + f⁶ = g⁶

(Оффтоп)

import itertools
import time

def solve_power_equation(max_num):
    """
    Ищет решения уравнения a⁶ + b⁶ + c⁶ + d⁶ + e⁶ + f⁶ = g⁶ в натуральных числах.
    Использует модульную арифметику для предварительной фильтрации вариантов.
    """
    start_time = time.time()
    
    # Предварительно вычисляем шестые степени и их остатки по модулю 7
    sixth_powers = {}
    mod7_table = {}
    
    for n in range(1, max_num + 1):
        n6 = n ** 6
        sixth_powers[n] = n6
        mod7_table[n] = n6 % 7
    
    # Генерируем все возможные комбинации 6 чисел
    numbers = list(sixth_powers.keys())
    
    # Используем модульную арифметику для фильтрации
    i = 0
    i2 = 0
    for combo in itertools.combinations(numbers, 6):
        a, b, c, d, e, f = combo
        
        # Проверка по модулю 7
        sum_mod7 = (mod7_table[a] + mod7_table[b] + mod7_table[c] + 
                    mod7_table[d] + mod7_table[e] + mod7_table[f]) % 7
        
        # По теореме Ферма g⁶ ≡ 0 или 1 mod 7
        if sum_mod7 not in {0, 1}:
            continue
        
        sum_total = (sixth_powers[a] + sixth_powers[b] + sixth_powers[c] +
                     sixth_powers[d] + sixth_powers[e] + sixth_powers[f])
        
        # Проверяем, является ли сумма шестой степенью
        g = round(sum_total ** (1/6))
        if g ** 6 == sum_total and g <= max_num:
            print(f"Найдено решение: {a}⁶ + {b}⁶ + {c}⁶ + {d}⁶ + {e}⁶ + {f}⁶ = {g}⁶")
            print(f"Проверка: {sum_total} = {g**6}")
            print(f"Комбинация: {combo}")
            print("---")

        i += 1    
        i2 += 1    
        if i2 == 1000:
            i2 = 0
            print('%s' % i, end=' ', flush=True )



    
    print(f"Поиск завершен. Время выполнения: {time.time() - start_time:.2f} секунд")

# Ищем решения для чисел от 1 до 50
solve_power_equation(200)

Для g > 730000 нужны громадные вычислительные мощности