Матрица Якоби кратного отображения Абеля-Якоби

[OlgaD]

Я изучаю кратное отображение Абеля-Якоби по книге Гриффитса, Харриса Принципы алгебраической геометрии. Мне не совсем понятны их вычисления матрицы Якоби этого отображения в одном частном случае. Например на с. 368-369 они пишут:

Цитата:

Напомним некоторые обозначения: $\omega_1,\ldots,\omega_g$ - базис пространства голоморфных 1-форм на римановой поверхности $S$ рода $g,$ отображение $\mu:S\to\mathcal{J}(S)$ задается формулой $\mu(p)=\left(\int\limits_{p_0}^p\omega_1,\ldots,\int\limits_{p_0}^p\omega_g\right),$ а отображение $\mu:S^{(d)}\to\mathcal{J}(S)$ - формулой

$$\mu(p_1+\ldots+p_d)=\mu(p_1)+\ldots+\mu(p_d).$$

Если мы фиксировали локальную карту $z$ на $S,$ можно определить функции $\Omega_{\alpha}$ соотношениями $\omega_{\alpha}=\Omega_{\alpha}(p)dz.$ Очевидно, что вектор

$$\Omega(p)=(\Omega_1(p),\ldots,\Omega_g(p))$$

представляет точку $p$ на канонической кривой из $\mathbb{P}^{g-1}.$

Я опущу их вычисления матрицы Якоби в случае, когда дивизора $D=p_1+\ldots+p_d,$ где все $p_i$ различны. Далее они пишут.

Цитата:

Покажем теперь, что происходит на диагонали $S^{(d)},$ на примере дивизора $D=2p_1+p_2+\ldots+p_{d-1}$ с различными точками $p_i;$ рассмотрение более общего случая отличается лишь более громоздкими обозначениями. Пусть $z$ - координата точки $p,$ меняющейся в окрестности точки $p_1,$ а $\Omega(p)=(\Omega_1(z),\ldots,\Omega(z)),$ как и выше. Положим

$$\Omega'(p)=\left(\frac{d\Omega_1}{dz},\ldots,\frac{d\Omega_g}{dz}\right).$$

Тогда прямая $\overline{\Omega(p)\Omega'(p)}$ из $\mathbb{P}^{g-1},$ определяемая векторами $\Omega(p)$ и $\Omega'(p),$ совпадает с касательной прямой к канонической кривой в точке $p.$ Для $w_1=(z_1+z_2)/2,w_2=z_1\cdot z_2$ положим

$$F_{\alpha}(w_1,w_2)=\int\limits_{p_0}^{z_1}\omega_{\alpha}+\int\limits_{p_0}^{z_2}\omega_{\alpha}.$$

Но

$$\frac{\partial F_{\alpha}}{\partial w_1}d\left(\frac{z_1+z_2}{2}\right)+\frac{\partial F_{\alpha}}{\partial w_2}d(z_1z_2)=\omega_{\alpha}(z_1)+\omega_{\alpha}(z_2),$$

откуда

$$\frac{\partial F_{\alpha}}{\partial w_1}=\frac{1}{2}(\Omega_{\alpha}(z_1)+\Omega_{\alpha}(z_2)),\qquad\frac{\partial F_{\alpha}}{\partial w_2}=\frac{\Omega(z_1)-\Omega(z_2)}{z_2-z_1}.$$

Устремляя $z_2$ к $z_1$ (координате точки $p_1$), мы получаем, что матрица Якоби отображения $\mu$ в точке $D=2p_1+p_2+\ldots+p_{d-1}$ равна

$$\left(% \begin{array}{c} \Omega(p_1) \\ -\Omega'(p_1) \\ \Omega(p_2) \\ \vdots \\ \Omega(p_{d-1}) \\ \end{array}% \right).$$

Я попыталась повторить последние вычисления. В результате у меня получилось то же выражение для частной производной $\partial F_{\alpha}/\partial w_2$ (не понятно, куда потерялись индексы $\alpha$ в книге), а выражение для $\partial F_{\alpha}/\partial w_1$ получилось совершенно другим. Не могу понять, где я ошиблась. Помогите разобраться, пожалуйста.