Мощность гильбертова пространства

[pppppppo_98]

Не пинайте сильно, если возможно уже обсуждалось и не раз. В голову пришло пару вопрсов
1. Самый важный для физики случай -сепарабельного гильбертова пространства...какова его мощность его $2^{|\mathbf{R}|}$
2. Листал тут Боголюбова - нет, нет да и упоминаются несепарабельные гильбертовы пространства ... А что в этом случае

[Утундрий]

1. Континуум, поскольку счётная декартова степень континуума — континуум.

[dgwuqtj]

2. Если мощность ортонормированного базиса бесконечна и равна $\kappa$, то мощность всего пространства — это $\binom \kappa {\aleph_0} = \kappa^{\aleph_0}$. Потому что любой элемент задаётся выбором не более чем счётного подмножества базиса и ненулевых коэффициентов при этих векторах, для коэффициентов континуум вариантов. В частности, при размерности континуум и мощность получается континуум.

[pppppppo_98]

Утундрий в сообщении #1694380 писал(а):

Континуум, поскольку счётная декартова степень континуума — континуум.

континуумов много .. какой из них?

-- Ср июл 16, 2025 12:33:44 --

dgwuqtj в сообщении #1694393 писал(а):

2. Если мощность ортонормированного базиса бесконечна и равна $\kappa$, то мощность всего пространства — это $\binom \kappa {\aleph_0} = \kappa^{\aleph_0}$. Потому что любой элемент задаётся выбором не более чем счётного подмножества базиса и ненулевых коэффициентов при этих векторах, для коэффициентов континуум вариантов. В частности, при размерности континуум и мощность получается континуум.

тот же вопрос какой континуум в случае сепарабельного пространства $\aleph_0^{|\mathbf{R}|}=2^{|\mathbf{R}|}$. Так?

[mihaild]

pppppppo_98 в сообщении #1694410 писал(а):

континуумов много

Континуум тут в смысле мощности, а не топологии. Он один (а топологическим континуумом нормированное векторное пространство быть не может).

pppppppo_98 в сообщении #1694410 писал(а):

тот же вопрос какой континуум в случае сепарабельного пространства $\aleph_0^{|\mathbf{R}|}=2^{|\mathbf{R}|}$

У вас тут основание и показатель перепутаны. Сепарабельное векторное пространство - это подмножество функций $\mathbb N \to \mathbb R$, а не наоборот.

[dgwuqtj]

pppppppo_98 в сообщении #1694410 писал(а):

континуумов много .. какой из них?

Который $\mathfrak c = 2^{\aleph_0} = |\mathbb R|$. И да, в теории множеств континуум один, это некий кардинал.

[pppppppo_98]

dgwuqtj в сообщении #1694436 писал(а):

pppppppo_98 в сообщении #1694410 писал(а):

континуумов много .. какой из них?

Который $\mathfrak c = 2^{\aleph_0} = |\mathbb R|$. И да, в теории множеств континуум один, это некий кардинал.

То есть с ваших слов получается что гильбертово пространство равномощно множеству дкйствительных чисел. Так

PS

Ещё два вопроса из тоже серии пришли в голову

3. А какова мощность пространства полученного из непрерывных функций по равномерно непрерывной норме. Такая же как и гильбертово?
4. Какова мощность алгебраически полного поля над полем рациональных чисел? Счётная ? Пересчитать все полиномы, а затем их корни?

[dgwuqtj]

3. Непрерывных функций на непустом сепарабельном пространстве (например, на открытом или замкнутом подмножестве $\mathbb R^n$) тоже континуум.
4. Мощность поля алгебраических чисел? Счётная, вы сами написали, почему.

[mihaild]

pppppppo_98 в сообщении #1694455 писал(а):

гильбертово пространство равномощно множеству дкйствительных чисел

С базисом мощностью континуум или меньше (в частности сепарабельное - у него счетный базис).
(при условии аксиомы выбора, без нее надо думать, определена ли вообще хотя бы размерность базиса)

pppppppo_98 в сообщении #1694455 писал(а):

А какова мощность пространства полученного из непрерывных функций по равномерно непрерывной норме.

Непрерывная функция однозначно задается своими значениями в рациональных точках.

pppppppo_98 в сообщении #1694455 писал(а):

Какова мощность алгебраически полного поля над полем рациональных чисел? Счётная ? Пересчитать все полиномы, а затем их корни?

Алгебраически полных полей, содержащих $\mathbb Q$, много, с самой разной мощностью. Алгебраическое замыкание $\mathbb Q$ - да, счётно.

[pppppppo_98]

mihaild в сообщении #1694458 писал(а):

Алгебраическое замыкание $\mathbb Q$ - да, счётно.

я имел ввиду расширение в котором решимы любые диофантовы полиномиалные уравнения одной переменной. А есть ли какая та связь с классом счетных ординалов у элементов этого поля?

[mihaild]

pppppppo_98 в сообщении #1694517 писал(а):

я имел ввиду расширение в котором решимы любые диофантовы полиномиалные уравнения одной переменной

Алгебраическое замыкание - это минимальное такое расширение.

pppppppo_98 в сообщении #1694517 писал(а):

А есть ли какая та связь с классом счетных ординалов у элементов этого поля?

Ни про какую очевидную мне не известно. Ну кроме того, что доказательство существования алгебраического замыкания у произвольного поля доказывается трансфинитной индукцией, но для рациональных чисел хватит и обычной.

[pppppppo_98]

5. А мощность пространства линейных функционалов над $C_0([0,1])$ с нормой $\Vert\cdot\Vert_\infty$

[dgwuqtj]

А что такое $C_0([0, 1])$? На пространстве непрерывных функций $\mathrm C([0, 1])$ есть континуум непрерывных линейных функционалов (т.е. зарядов), потому что оно сепарабельно.