Предельные точки ограниченного множества

[Dedekind]

Доказать: Каждое бесконечное ограниченное множество имеет предельную точку. Используйте понятие открытого покрытия и НЕ используйте теорему Больцано-Вейерштрасса.
(Предельная точка определяется как точка, у которой любое пересечение ее открытой окрестности с множеством имеет элемент, отличный от этой точки.)

Мое доказательство: Пусть $A$ ограниченное бесконечное множество. Тогда существует такое $M>0$, что $A \subseteq [-M,M]$. Пусть у $A$ нет предельных точек. Это, среди прочего, означает, что для любого $x\in [-M,M]$ существует такое $\varepsilon_x>0$, что $V_{\varepsilon_x}(x)\cap A = \{x\}$, если $x\in A$ и $V_{\varepsilon_x}(x)\cap A = \varnothing$ если $x\notin A$. При этом, $\{V_{\varepsilon_x}(x): x\in [-M,M]\}$ формируют открытое покрытие для $[-M,M]$.
Поскольку $[-M,M]$ компактно, то из его открытого покрытия можно выделить конечное подпокрытие $\{V_{\varepsilon_1}(x_1),...,V_{\varepsilon_n}(x_n)\}$. Поскольку любое множество из этого подпокрытия содержит самое большее один элемент из $A$, то значит $A$ конечно. Противоречие с условием.

Прошу проверить, годится ли такое доказательство.

[mihaild]

Да, это, вроде бы, стандартное доказательство.

[Dedekind]

mihaild
Спасибо!