Решить уравнение в целых числах

[MarVik]

Задача: решите уравнение в целых числах: $1+m+m^2+m^3=3^n$
Я уже выяснил, что можно сделать так: $(m^2+1)(m+1)=3^n$, и отсюда, в принципе, можно сделать вывод, что m и n отрицательными быть не могут. Пару (0; 0) найти несложно, но меня на самом деле другое интересует. Как доказать, что числа $m^2+1$ и $m+1$ одновременно не могут являться степенями тройки (если m - натуральное)? А если могут, то как найти такие m?

[nnosipov]

Чему может быть равен $\gcd{(m+1,m^2+1)}$?

Тему лучше перенести в ПР/Р.

[wrest]

MarVik в сообщении #1694077 писал(а):

Как доказать, что числа $m^2+1$ и $m+1$ одновременно не могут являться степенями тройки (если m - натуральное)?

Вероятно начать с того, что пусть они степени тройки.
Обозначить навроде $m+1=3^k$ и посмотреть что из этого выйдет.

[maxal]

Тема перемещена из форума «Олимпиадные задачи (М)» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»
Причина переноса: не указана.

[Shadow]

Наверное для начала найти такое $m^2+1$, делящееся на $3$

[Random Drifter]

MarVik в сообщении #1694077 писал(а):

Как доказать, что числа $m^2+1$ и $m+1$ одновременно не могут являться степенями тройки (если m - натуральное)? А если могут, то как найти такие m?

Ну это же очень просто, по-моему. Допустим, m+1 является степенью тройки: m + 1 = {3^k}. Тогда {m^2} + 1 = {({3^k} - 1)^2} + 1 = {3^{2k}} - 2 \cdot {3^k} + 2 = 3({3^{2k - 1}} - 2 \cdot {3^{k - 1}} + 1) - 1.

Что бы там ни получилось в скобках (ноль или не ноль), {m^2} + 1 в обоих случаях не будет делиться на 3.