Эпсилон окрестности +, - и обычной бесконечности

[Hadzebuge]

Добрый день. Читаю учебник Иванова по матану и наткнулся на довольно странные определения эпсилон окрестностей бесконечностей.
Например эпсилон окрестность + бесконечности задается как вот такой интервал: (1/epsilon; +inf)
Почему так? Эпсилон окрестность же подразумевает наличие какой-то точки, вокруг которой область пространства ограничена на расстоянии epsilon.
Но точек +- бесконечность же не существует? как это работает?

[Dan B-Yallay]

Hadzebuge в сообщении #1693856 писал(а):

Но точек +- бесконечность же не существует? как это работает?

А с понятием стремления к бесконечности (которой не существует) у Вас затруднений не возникает?

[Hadzebuge]

Dan B-Yallay в сообщении #1693857 писал(а):

Hadzebuge в сообщении #1693856 писал(а):

Но точек +- бесконечность же не существует? как это работает?

А с понятием стремления к бесконечности (которой не существует) у Вас затруднений не возникает?

Был и такой вопрос тоже, но я решил его не трогать т.к понятно интуитивно определение предела последовательности
Насколько я понимаю, там имеется в виду потенциальная бесконечность (ну то есть можно сколько угодно продолжать ставить члены последовательности на действительной прямой, они все равно попадут в окрестность предела)

[Dan B-Yallay]

Hadzebuge в сообщении #1693860 писал(а):

Был и такой вопрос тоже, но я решил его не трогать т.к понятно интуитивно определение предела последовательности
Насколько я понимаю, там имеется в виду потенциальная бесконечность

Представьте себе эпсилон окрестность этой самой потенциальной бесконечности, как проколотую окрестность какой-либо обычной точки на прямой. Приближаться можно, совпасть нельзя.

[Hadzebuge]

Dan B-Yallay в сообщении #1693864 писал(а):

Hadzebuge в сообщении #1693860 писал(а):

Был и такой вопрос тоже, но я решил его не трогать т.к понятно интуитивно определение предела последовательности
Насколько я понимаю, там имеется в виду потенциальная бесконечность

Представьте себе эпсилон окрестность этой самой потенциальной бесконечности, как проколотую окрестность какой-либо обычной точки на прямой. Приближаться можно, совпасть нельзя.

А как будет правильно формально все это понимать (стремление к бесконечности в пределе, точки бесконечностей на прямой)?

[F111mon]

Эпсилон-окрестность обычной точки А - это все числа, которые находятся ближе к А, чем $ A+\varepsilon.
Какие числа будут ближе какой-то точки к $ +\infty?

[Hadzebuge]

F111mon в сообщении #1693872 писал(а):

Эпсилон-окрестность обычной точки А - это все числа, которые находятся ближе к А, чем $ A+\varepsilon.
Какие числа будут ближе какой-то точки к $ +\infty?

Даже не знаю. Нет таких чисел?

[realeugene]

Hadzebuge в сообщении #1693856 писал(а):

(1/epsilon; +inf)

А смысл символа $+\infty$ в этой записи вам понятен? На самом деле, это просто такая форма записи открытых не ограниченных сверху интервалов. Бесконечности - не числа.

Относитесь к этому всему как к форме записи, похожей на обычные числа, но со своим собственным смыслом, про который нужно помнить, и применимость которого в конкретных случаях проверять, если не начинать изучение матанализа прямо с общей топологии.

[Hadzebuge]

realeugene в сообщении #1693879 писал(а):

Hadzebuge в сообщении #1693856 писал(а):

(1/epsilon; +inf)

А смысл символа $+\infty$ в этой записи вам понятен? На самом деле, это просто такая форма записи открытых не ограниченных сверху интервалов. Бесконечности - не числа.

Относитесь к этому всему как к форме записи, похожей на обычные числа, но со своим собственным смыслом, про который нужно помнить, и применимость которого в конкретных случаях проверять, если не начинать изучение матанализа прямо с общей топологии.

Все еще не понятно, почему окрестность для +inf именно такая (для других бесконечностей тоже не понятно)?

[realeugene]

Hadzebuge в сообщении #1693887 писал(а):

Все еще не понятно, почему окрестность для +inf именно такая (для других бесконечностей тоже не понятно)?

Что такое окрестность положительной бесконечности в матанализе? Это краткая форма сказать про свойство, выполняющееся для всех интервалов, больших членов ряда натуральных чисел. Что такое эпсилон-окрестность для обычного числа? Это краткая форма сказать про свойство, выполняющееся для шаров вокруг заданного числа, ограниченных радиусом, обратным величинам членов ряда натуральных чисел (рассматриваемых как действительные числа). Любые подобные бесконечности - прямое следствие бесконечности ряда натуральных чисел. Замкнутого цикла определений избегают, формулируя утверждения про любые вложенные множества и любые подходящие последовательности без использования операции деления. Но всегда подразумевается какой-то бесконечный ряд окрестностей, пронумерованный, опять же, натуральными числами.

[dgwuqtj]

Возьмём интервал $(-1, 1)$. В нём маленькими окрестностями конца $1$ будут интервалы $(1 - \varepsilon, 1)$. Теперь растянем исходный интервал на всю прямую, хотя бы при помощи $\tg \frac{\pi x}2$, и тогда интервалы $(1 - \varepsilon, 1)$ перейдут в лучи $(N, +\infty)$.

Разумеется, это всё неформально, просто в качестве мотивации.

[F111mon]

Hadzebuge в сообщении #1693875 писал(а):

F111mon в сообщении #1693872 писал(а):

Эпсилон-окрестность обычной точки А - это все числа, которые находятся ближе к А, чем $ A+\varepsilon.
Какие числа будут ближе какой-то точки к $ +\infty?

Даже не знаю. Нет таких чисел?

Попробуйте, что ли, нарисовать числовую прямую и подумать, что значит $ +\infty.