Как доказать, что спектральный радиус матрицы A больше B?

[Dang Dang]

Контекст

Рассмотрим две блочные матрицы 6\times 6, обозначенные A и B, с блоками размером \ell\times\ell, образующие матрицы 6\ell\times 6\ell:

$$A=\begin{bmatrix}U&L&L&L&U&L\\L&U&L&L&U&L\\L&L&U&L&L&U\\L&L&L&U&L&U\\U&U&L&L&U&L\\L&L&U&U&L&U\\\end{bmatrix},\quad B=\begin{bmatrix}U&L&L&L&U&L\\L&U&L&L&U&U\\L&L&U&L&L&U\\L&L&L&U&L&L\\U&U&L&L&U&U\\L&U&U&L&U&U\\\end{bmatrix},$$

где U — нильпотентная матрица (1 на наддиагонали, 0 в остальных местах), а L — идемпотентная матрица (1 в первом столбце, 0 в остальных местах):

$$U=\begin{bmatrix}0&1&0&\cdots&0&0\\0&0&1&0&\cdots&0\\0&\ddots&0&\ddots&0&0\\0&0&\cdots&0&1&0\\0&0&0&\ddots&0&1\\0&0&0&0&\cdots&0\\\end{bmatrix}_{\ell\times\ell},\quad L=\begin{bmatrix}1&0&0&\cdots&0&0\\1&0&\ddots&0&0&0\\\vdots&0&0&\ddots&0&0\\1&0&0&0&\cdots&0\\1&0&0&0&0&\cdots\\1&0&0&\cdots&0&0\\\end{bmatrix}_{\ell\times\ell}.$$

Вопрос

Пусть \rho_A и \rho_B обозначают наибольшие действительные собственные значения (спектральные радиусы) матриц A и B соответственно.

Я хочу доказать, что \rho_A > \rho_B для любого \ell.

---

Попытка

Сначала я наивно попытался найти минимальный многочлен, содержащий наибольшие действительные собственные значения матриц A и B, и с помощью численного метода нашел минимальный многочлен для A, содержащий наибольший действительный корень:

$$p(x)=\underbrace{x^{2\ell}-4x^{2\ell-1}-7x^{2\ell-2}-18x^{2\ell-3}-\cdots}_{\ell+1\,\text{членов}}-(-1)^{\ell}\underbrace{1-2x+5x^2-12x^3+\cdots}_{\ell\,\text{членов}}.$$

Однако общая форма минимального многочлена для B оказалась чрезвычайно сложной — известно только, что его степень равна 3\ell, а не 2\ell. Мне любопытно, почему минимальный многочлен для A имеет степень 2\ell, и я знаю, что матрицу A можно сжать до вида

$$\begin{bmatrix}W&V\\2V&V\end{bmatrix},$$

где:

$$W=\begin{bmatrix}3&1&0&\cdots&0&0\\3&0&1&0&\cdots&0\\3&\ddots&0&\ddots&0&0\\3&0&\cdots&0&1&0\\3&0&0&\ddots&0&1\\3&0&0&0&\cdots&0\\\end{bmatrix}_{\ell\times\ell},\quad V=\begin{bmatrix}1&1&0&\cdots&0&0\\1&0&1&0&\cdots&0\\1&\ddots&0&\ddots&0&0\\1&0&\cdots&0&1&0\\1&0&0&\ddots&0&1\\1&0&0&0&\cdots&0\\\end{bmatrix}_{\ell\times\ell}.$$

---

Больше, чем подобие матриц

Чтобы получить сжатую матрицу A, зная, что ее степень равна 2\ell, я создал разложение на собственные векторы:

$$u=\left[1,1,1,1,0,0\right]^T\otimes x+\left[0,0,0,0,1,1\right]^T\otimes y=\left[x_1,x_2,x_1,x_2,x_1,x_2,x_1,x_2,y_1,y_2,y_1,y_2\right]^T,$$

используя два вектора произведения x=[x_1,\ldots,x_\ell], y=[y_1,\ldots,y_\ell] (я проверил это для \ell=2, а затем для больших значений \ell). Т.е.,

$$Au=\lambda u\Rightarrow\begin{bmatrix}3&1&1&1\\3&0&1&0\\2&2&1&1\\2&0&1&0\\\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x_1\\x_2\\y_1\\y_2\\\end{bmatrix}=\lambda\begin{bmatrix}x_1\\x_2\\y_1\\y_2\\\end{bmatrix}_{\text{после устранения всех остальных }4\ell\text{ дублирующих строк}}.$$

При стандартном подобии матриц преобразование было бы A\mapsto P^{-1}AP, но у нас A\mapsto (P^TP)^{-1}P^TAP, и сжатая матрица A соответствует минимальному многочлену A.

Однако мой метод неэффективен для сжатия B. И даже если я смогу сжать B до матрицы 3\ell\times 3\ell, у меня все равно нет следующего шага для сравнения (кроме формулы Шура:

$$\det\begin{bmatrix}X-\lambda I&U\\Y&Z-\lambda I\\\end{bmatrix}=\det(Z-\lambda I)\det(X-\lambda I-U(Z-\lambda I)^{-1}Y),$$

где

$$\det(X-\lambda I)=(x^\ell+\cdots+1)^3(x^\ell-3x^{\ell-1}-3x^{\ell-2}-\cdots-3),$$

в то время как (x^\ell+\cdots+1)^3 появляется в разложении характеристического многочлена матрицы A как (x^\ell+\cdots+1)^2, а в матрице B как (x^\ell+\cdots+1)^1, и я не знаю других методов). Мне нужна ваша помощь. Большое спасибо!