Не могу понять смысл n-мерной свёртки

[Kevsh]

Для моделирования нелинейных систем используется ряд Вольтерра:

$$y(n)=\sum\limits_{k=1}^K y_k(n)$$

$$y_k(n)=\sum\limits_{m_1=0}^{M-1}...\sum\limits_{m_k=0}^{M-1}h_k(m_1,...,m_k)\prod\limits_{l-1}^k x(n-m_l)$$

Я не могу никак до конца понять смысл этой штуки. Я понимаю смысл простой свёртки - мы отзеркаливаем импульсную характеристику, умножаем её на входную функцию и ищем интеграл от результата. Тут всё понятно: импульсная характеристика это отклик системы на дельта-импульс, входная функция на входе, результат свёртки на выходе. Тут же импульсная характеристика $k$-мерная. Вот про $h(5)$ можно сказать, что если на вход системы подать дельта-импульс, то на пятом отсчёте отклика мы увидим $h(5)$. А если у нас $h(1,2,5)$, то что это значит? Также не очень понятно, как ряд $y_k$ разбить на свёртки. Если, например, имеем $M=3$ и $k=2$, то получим:

$$y_2=x(n-0)\cdot (x(n)*h(0,n))+x(n-1)\cdot (x(n)*h(1,n))+x(n-2)\cdot(x(n)*h(2,n))$$

и вот не очень понятно, что с этим делать дальше и какой вообще смысл у всей этой конструкции...

[Евгений Машеров]

Смысл простой и грустный. Система нелинейна, $f(\alpha x) \ne \alpha f(x)$ и/или $f(x+y) \ne f(x)+f(y)$. Это мы знаем, а вот чтобы построить полноценную параметрическую модель, знаний недостаточно. Знаем (а скорее постулируем), что сигнал на выходе в момент t зависит от M отсчётов входной переменной, и подгоняем самую простую и доступную модель - полином от этих M отсчётов. Задача получается линейной по параметрам, и величины коэффициентов h можно получать регрессией. "Поиски под фонарём", поскольку не под фонарём точно не сможем ничего отыскать.

[Евгений Машеров]

Kevsh в сообщении #1692889 писал(а):

А если у нас $h(1,2,5)$, то что это значит?

Что в нашу модель входит нелинейный член вида $a_i x(t-1)x(t-2)x(t-5)$
А какой у него физический смысл (и есть ли он вообще, или это "подгонка") - не знаю.