Корни многочлена Лежандра, теорема Ролля

[Really]

Цитата:

Существуют точки $-1<x_1<1$ и $-1<x_2<1$ , в которых $p''$ примет значение равное нулю.

Кроме того $x_1\neq x_2$ - без этого не сработает.

Цитата:

А что на самом последнем шаге, для $n$-ой производной?

Там тоже самое. Посчитайте сколько у $p^{(n-1)}$ корней на $(-1,1)$
и примените опять теорему.

[ewert]

Really писал(а):

Цитата:

А что на самом последнем шаге, для $n$-ой производной?

Там тоже самое. Посчитайте сколько у $p^{(n-1)}$ корней на $(-1,1)$
и примените опять теорему.

Не совсем то же. У последней производной корней на границе нет, поэтому на последнем шаге количество корней, наоборот, уменьшится. Как раз до $n$ и уменьшится.

[e7e5]

ewert писал(а):

Не совсем то же. У последней производной корней на границе нет, поэтому на последнем шаге количество корней, наоборот, уменьшится. Как раз до $n$ и уменьшится.

Почему? Происходит нарушение условий теоремы Ролля?

Последовательно рассматривая, сколько имеется кореней у $i$-ой функции, каждый раз исползуем эту теорему, а сами производные и не считаем. В чем дело с последней производной?

[Really]

ewert в сообщении #142390 писал(а):

Цитата:

А что на самом последнем шаге, для $n$-ой производной?

Really писал(а):

Там тоже самое. Посчитайте сколько у $p^{(n-1)}$ корней на $(-1,1)$
и примените опять теорему.

Не совсем то же. У последней производной корней на границе нет, поэтому на последнем шаге количество корней, наоборот, уменьшится. Как раз до $n$ и уменьшится.

Я писал про $p^{(n-1)}$ - у нее будут корни на границе. Вся путаница в слове "последний".

Цитата:

В чем дело с последней производной?

Все в порядке с "последней" производной. Последняя, а точнее $n$-я производная - это и
есть сам многочлен Лежандра. ewert прав в том, что корней на границе у нее нет.
Но к ней мы и применять ничего не будем. А вот для $p^{(n-1)}$, как я и писал выше, $-1$ и $1$
будут простыми корнями. Кроме того, у нее будет $n-1$ корень на интервале $(-1,1)$. После
дифференцирования получим ровно $n$ различных корней на $(-1,1)$.

[e7e5]

Спасибо, теперь понятно.
В частности, если вычислять производные, например

$p''=2n(n-1)(x^2-1)^n/(x^2-1)^2+ 2n(x^2-1)^n/(x^2-1)$.
То, при $n=2$ и постоянном коэффициенте в многочлене Лежандра


$c_n=$$1/(2^nn!)$, как раз получается
$(3x^2-1)$/$2$ - многочлен $P_2$. С другой стороны, его получают из реккуретной формулы.
В связи с этим вопросик:
Почему степень $x^n$ может быть представлена в виде линейной однородной функции от $P_0$, $P_1$, ..., $P_n$ с постоянными коэффициентами?

[Brukvalub]

e7e5 в сообщении #142528 писал(а):

Почему степень $x^n$ может быть представлена в виде линейной однородной функции от $P_0$, $P_1$, ..., $P_n$ с постоянными коэффициентами?

Потому, что первые n многочленов Лежандра образуют базис в пространстве всех многочленов степени не выше, чем n-1.

[ewert]

(только к эн надо прибавить единичку)

А верен этот факт опять же не из-за лежандровости, а просто потому, что степени этих многочленов монотонно возрастают. Ну стал быть они линейно независимы, а раз их ровно столько, сколько нужно -- то и базис.

Правда, я не понял, что значит "линейная однородная функция". Вообще-то принято говорить "линейная комбинация".

[e7e5]

Brukvalub писал(а):

... первые n многочленов Лежандра образуют базис в пространстве всех многочленов степени не выше, чем n-1.

Возьмем для примера многочлен $Q(x)=$$x^2+3x+1$
1) Как показать, что этот многочлен является линейной комбинацией $P_3$?
2) Как найти координаты этого многочлена в указанном базисе?
3) Как записать матрицу перехода от указанного базиса при $n=2$ к ортонормированной системе?

Для п.1 понимаю так, $Q(x)$ нужно представить в виде
$\lambda_0$$P_0$+$\lambda_1$$P_1$+$\lambda_2$$P_2$+$\lambda_3$$P_3$
и найти числа "лямды". Правильно?

Для п.2 вот тут не уверен
Для п.3 - Сначала нужно нормировать базис . Прежде всего найти норму. Исходный ( ненормированный) базис будет отличаться от нормированного на "1/норму". Т.е матрица перехода будет - столбец из норм со своим значением при $n=0,1,2$ Идея в этом?

[Brukvalub]

e7e5 в сообщении #142794 писал(а):

Для п.1 понимаю так, $Q(x)$ нужно представить в виде
$\lambda_0$$P_0$+$\lambda_1$$P_1$+$\lambda_2$$P_2$+$\lambda_3$$P_3$
и найти числа "лямды". Правильно?

Да. Только слагаемых Вы взяли с избытком.

e7e5 в сообщении #142794 писал(а):

2) Как найти координаты этого многочлена в указанном базисе?

Коэффициенты разложения и являются координатами.

e7e5 в сообщении #142794 писал(а):

матрица перехода будет - столбец из норм со своим значением при $n=0,1,2$ Идея в этом?

Нет. Матрица перехода вседа является квадратной, поэтому столбцом она будет только в размерности 1. Но идея отнормировать многочлены 0 верная, просто Вам нужно подучить определение матрицы перехода.

[e7e5]

Brukvalub писал(а):

e7e5 в сообщении #142794 писал(а):

Для п.1 понимаю так, $Q(x)$ нужно представить в виде
$\lambda_0$$P_0$+$\lambda_1$$P_1$+$\lambda_2$$P_2$+$\lambda_3$$P_3$
и найти числа "лямды". Правильно?

Да. Только слагаемых Вы взяли с избытком.

У меня получилось: $\lambda_0$=$4/3$, $\lambda_1$=$3$, $\lambda_2$=$2/3$
и координаты многочленa $Q(x)=$$x^2+3x+1$
в базисе многочленов Лежандра $n$=2 - есть указанные числа (4/3, 3, 2/3) - правильно получилось?

Добавлено спустя 28 минут 48 секунд:

Brukvalub писал(а):

Но идея отнормировать многочлены 0 верная, просто Вам нужно подучить определение матрицы перехода.

Нормы многочленов получились такие: $\sqrt2$, $\sqrt{2/3}$, $\sqrt{2/5}$)

Отсюда ортономированные многочлены Лежандра
1) $1/ \sqrt2$
2) $\sqrt{3/2}x$
3) $\sqrt{5/2}$$(3x^2-1)/2$
Помогите записать здесь квадратную матрицу перехода ( чтобы красиво было) - от базиса ненормированных многочленов Л. к ортонорированным?

[Really]

e7e5 в сообщении #142828 писал(а):

Помогите записать здесь квадратную матрицу перехода ( чтобы красиво было) - от базиса ненормированных многочленов Л. к ортонорированным?

Подсказка: эта матрица будет диагональной.

[e7e5]

Полчается такая матрица для перехода из нормированного пространства к ненормированному ?
\left \begin{array} {ccc} x_{11}&0&0\\ 0&x_{22}&0\\ 0&0&x_{33} \end{array}\right
где, $x_{11}$, $x_{22}$, $x_{33}$ суть числа

$\sqrt2$, $\sqrt{2/3}$, $\sqrt{2/5}$)

Как теперь, еще найти угол между номрированным и ненормированным многочленами Лежандра $n$=2, рассмотрев например скалярное произведение ? Так можно?

[Brukvalub]

e7e5 в сообщении #143199 писал(а):

Как теперь, еще найти угол между номрированным и ненормированным многочленами Лежандра $n$=2, рассмотрев например скалярное произведение ? Так можно?

Разве нормирование вектора изменяет его направление?

[e7e5]

Brukvalub писал(а):

Разве нормирование вектора изменяет его направление?

Конечно не меняет. Ведь просто делим на норму, число. Вопрос, как угол все-таки искать. Ведь, если не меняется в таком простейшем случае, то какой-то другой способ нахождения угла приведет к этому результату.

Вопрос иначе: Найти угол между $P_2$ и многочленом $Q(x)$, заданным несколькими постами выше?

[Really]

e7e5 в сообщении #143208 писал(а):

Конечно не меняет. Ведь просто делим на норму, число. Вопрос, как угол все-таки искать. Ведь, если не меняется в таком простейшем случае, то какой-то другой способ нахождения угла приведет к этому результату.

Вопрос иначе: Найти угол между $P_2$ и многочленом $Q(x)$, заданным несколькими постами выше?

Какая разница собственно $P_2$ или не $P_2$? Угол в Евклидовом пр-ве всегда можно определить из соотношения

$$ \cos\varphi=\frac{(p,q)}{\|p\|\|q\|}. $$

Другое дело, что скалярное произведение в числителе просто удобно считать если у вас есть
разложение $p$ и $q$ в ортогональном базисе.