Измерение спина и спиновая функция

[OlegML]

Здравствуйте.

Время от времени здесь были дискуссии на тему спина, спиновой функции и измерения спина. Но у меня так и не сложилось определенного представления о процессе измерения и его результате.
Надеюсь завсегдатаи форума помогут.
Ставим следующий эксперимент. Имеется лаборатория с системой координат (оси Z и X). Каким-то образом измеряем спин летящего электрона вдоль оси Z. Получаем "+" или "-", например "+".
Верно ли, что последующее измерение вдоль оси Z даст точно "+"? Затем делаем измерение вдоль X, затем опять вдоль Z. Каким будет результат последнего измерения? У меня три варианта ответа.
1. Измерение вдоль X не меняет функцию электрона и с равной вероятностью выдаст "+" или "-". Последующее измерение вдоль Z даст точно "+".
2. Измерение вдоль X математически выражается в действии оператора $s_x$ (проекции спина на X) на функцию электрона. Действие этого оператора дается соответствующей матрицей Паули,
т.е. функция "+" переводится в функцию "-" и наоборот. Тогда последующее измерение вдоль Z даст точно "-".
3. Измерение вдоль X даст с равной вероятностью "+" или "-". Ось X теперь объявляется новой осью Z. Последующее измерение вдоль старой Z даст с равной вероятностью "+" или "-".
Какие 2 варианта неверны, почему?

[talash]

Знаю эксперимент попроще на эту же тему, лично проверял, что так работает:

Возьмите три линейных поляризационных фильтра и источник света.

Первый фильтр ставим «вертикально» — он пропускает только вертикально полярованный свет.

Второй фильтр за ним разворачиваем на 90 ° («горизонтально»). Теперь направления их осей перпендикулярны, поэтому свет гасится и экран темнеет.

Между ними вставляем третий фильтр и поворачиваем его примерно на 45 °. Экран снова светится, хотя и слабее, чем без поляризаторов.

Такой результат контринтуитивен, если вашей интуиции кажется, что у фотонов есть локальные внутренние параметры, а фильтры всего лишь не пропускают неподходящие по этим параметрам фотоны. Тут всё сложнее и интереснее.

[Cos(x-pi/2)]

OlegML, вот пояснение; думаю, из него следуют ответы на Ваши вопросы

(про спин)

Чтобы составить себе представление о спине советую прочитать ФЛФ выпуск 8, глава 3 "Спин единица" и глава 4 "Спин одна вторая". (Конечно, такой совет - лишь имхо; просто в давнее студенческое время именно чтение ФЛФ, говоря избитой фразой, раскрыло мне глаза (на спин и затем вообще на квантовую механику) :)

OlegML в сообщении #1692527 писал(а):

Каким-то образом измеряем спин летящего электрона вдоль оси Z.

Желательно более определённым образом сформулировать, что такое "измерение" в данном контексте. Для начала лучше избегать обобщений, а рассматривать самый простой конкретный вариант - идеализированный прибор Штерна--Герлаха.

Вы ведь пока только о спине $1/2$ задаёте вопросы, поэтому только об этом случае дальше и говорю. В рассуждениях о частицах со спином $s=1/2$ прибор ШГ можно представлять себе как некий ящик с одним входным отверстием и с двумя выходными: одно из выходных отверстий отмечено надписью "-", а другое надписью "+". Поэтому можно условиться, что каждый прибор ШГ характеризуется своим единичным вектором $\mathbf{n},$ направленным от отверстия "-" к отверстию "+".

Жизненный опыт показал, что в квантовой физике нет возможности непрерывно наблюдать полёты частиц. Частицу обнаруживает тот или иной детектор в составе прибора. В приборе ШГ можно установить два детектора - на одном и на другом выходе.

Можно считать, что частицу всегда можно направить во входное отверстие коллиматорами (или электрическими полями специальной конфигурации, если частица заряжена), которые в нерелятивистской физике не влияют на спиновое состояние. Т.е. полагаем, что вне прибора ШГ, где нет магнитного поля, спиновое состояние частицы и её состояние орбитального движения не связаны друг с другом. Этим спин "похож" на гироскоп самолёта: когда самолёт выполняет виражи, направление вращения его гироскопа сохраняется. Но, оказывается, полной аналогии нет: в квантовой механике частицу со спином не следует представлять себе наглядно в виде вращающегося волчка.

Теперь описываю акт измерения; разумеется, в идеализированном рассуждении.

Нажмём кнопку "пуск" (на некоем источнике), так что частица из источника направится на вход прибора ШГ с заданным $\mathbf{n}$. Тогда она обязательно обнаружится на одном из выходов: либо одним, либо другим детектором. Если частица обнаружилась на выходе "+", то тем самым она обнаружилась с проекцией спина на направление $\mathbf{n}$ равной $s_{\mathbf{n}}=+1/2.$ Если же частица обнаружилась на выходе "-", то $s_{\mathbf{n}}=-1/2.$ Всё это верно при любом выборе $\mathbf{n},$ т.е. как бы мы ни поворачивали прибор ШГ (вместе с его двумя детекторами), возможны только два исхода; после каждого "пуска" обязательно обнаруживается какой-нибудь один из них, а в два детектора одна частица не попадает и никуда мимо этих двух детекторов не улетает.

Уберём детектор с выхода "+", а детектор на выходе "-" пусть остаётся и поглощает попадающую в него частицу. Тем самым получился новый источник: вылетающая из него частица имеет $s_{\mathbf{n}}=+1/2$ и она может быть направлена на вход в ещё один прибор ШГ. Оказывается, если второй прибор ШГ имеет такой же $\mathbf{n},$ то частица обнаружится обязательно на его выходе "+", т.е. у неё с достоверностью $s_{\mathbf{n}}=+1/2.$

И, аналогично, если убрать детектор с выхода "-", а на выходе "+" заглушку оставить, то получится источник частицы в состоянии с $s_{\mathbf{n}}=-1/2.$ Второй прибор ШГ с таким же $\mathbf{n}$ обнаружит с достоверностью $s_{\mathbf{n}}=-1/2.$

Если же у второго прибора его характерное направление иное, нежели у первого, т.е. $\mathbf{n}'\neq \mathbf{n}$ и $\mathbf{n}'\neq -\mathbf{n},$ то частица будет обнаруживаться (при многократных повторениях "пуска") на обоих выходах второго прибора: то на одном его выходе, то на другом.

Т.е. результатом каждого акта измерения вторым прибором будет либо $s_{\mathbf{n}'}=+1/2,$ либо $s_{\mathbf{n}'}=-1/2.$ Вероятность того либо другого из них зависит от угла между векторами $\mathbf{n}'$ и $\mathbf{n}.$ В частности, при угле $\pi/2$ эта вероятность равна $0.5$ (см. формулу ниже; это условная вероятность: при условии, что частица заведомо вылетела из открытого выхода первого прибора (а не поглотилась в заглушке другого выхода) и вошла во второй прибор).

Самое простое математическое описание измерения проекции спина в квантовой механике выглядит вот как. Обозначим "чистое спиновое состояние" на входе прибора ШГ символом $|\psi\rangle.$ Для прибора ШГ с заданным $\mathbf{n}}$ состояние частицы на выходе "+" обозначим, например, как $|\uparrow_{\mathbf{n}}\rangle,$ состояние на выходе "-" - как $|\downarrow_{\mathbf{n}}\rangle.$

Постулируется, что с этими символами можно обращаться как с элементами абстрактного векторного пространства: складывать их друг с другом, умножать на числа, включая и комплексные числа. Тогда:

$$|\psi\rangle=C_1\,|\uparrow_{\mathbf{n}}\rangle\,+\,C_2\,|\downarrow_{\mathbf{n}}\rangle\,,$$

где $C_1$ и $C_2$ - числа, называемые "комплексными амплитудами вероятности", и при этом:

$|C_1|^2$ есть вероятность обнаружить $s_{\mathbf{n}}=+1/2,$

$|C_2|^2$ есть вероятность обнаружить $s_{\mathbf{n}}=-1/2.$

Когда частица поглотилась детектором, то мы не можем ничего толком сказать о её дальнейшей судьбе в детекторе, и её состояние внутри детектора никак не описываем. Но если прибор ШГ работает как источник, т.е., например, выход "+" не заглушен детектором, то можно сказать, что он создаёт состояние $|\uparrow_{\mathbf{n}}\rangle$ (с каким-то несущественным здесь численным множителем). В этом случае условились говорить, что прибор проецирует состояние $|\psi\rangle$ на одно из двух базисных состояний, в данном примере - на состояние $|\uparrow_{\mathbf{n}}\rangle.$

И, аналогично, если с прежним исходным состоянием $|\psi\rangle$ проводить измерения повёрнутым прибором ШГ, - у которого его характерная ось задаётся вектором $\mathbf{n}',$ - то исходное состояние записывается просто в виде разложения по другому ("штрихованному") базису:

$$|\psi\rangle=C'_1\,|\uparrow_{\mathbf{n}'}\rangle\,+\,C'_2\,|\downarrow_{\mathbf{n}'}\rangle\,.$$

В частности, если это уже второй прибор, а первый, действуя как источник (другими словами - как спиновый поляризатор) создаёт на своём выходе состояние $|\uparrow_{\mathbf{n}}\rangle,$ то оно и будет играть роль входного состояния $|\psi\rangle$ для второго прибора. Выводится, что в этом случае вероятности обнаружить $s_{\mathbf{n}'}=+1/2$ и $s_{\mathbf{n}'}=-1/2$ есть

$$|C'_1|^2=\cos^2(\theta /2) \quad \text{и} \quad |C'_2|^2=\sin^2(\theta /2)\,,$$

где $\theta$ - угол между $\mathbf{n}$ и $\mathbf{n}'.$

Ну, и далее в этой теме ещё много может быть задействовано сопутствующей математики. Например, измерению как "проецированию" сопоставляются так называемые операторы проецирования на базисные состояния, это не операторы проекций спина. А из операторов проекций спина $\hat{s}_k$ на декартовы оси $k=x,y,z,$ которые (операторы) выражаются через стандартные матрицы Паули, строится оператор проекции спина на заданное направление $\mathbf{n}:$

$$\hat{s}_{\mathbf{n}}=n_x\,\hat{s}_x\,+\,n_y\,\hat{s}_y\,+\,n_z\,\hat{s}_z\,.$$

Состояния $|\uparrow_{\mathbf{n}}\rangle $ и $|\downarrow_{\mathbf{n}}\rangle $ можно вычислить как "собственные векторы" матрицы $\hat{s}_{\mathbf{n}},$ принадлежащие её "собственным значениям" $s_{\mathbf{n}}=+1/2$ и $s_{\mathbf{n}}=-1/2$ соответственно. Это уже сюжеты для более детального разбора.

[OlegML]

OlegML в сообщении #1692527 писал(а):

Знаю эксперимент попроще на эту же тему, лично проверял, что так работает:

Да, я слышал, это значит реализуется 3й вариант ответа. Но казалось бы измерение спина происходит всякий раз когда электрон вступает в магнитное взаимодействие с чем либо. Тогда направление спина меняется при любом, даже очень слабом взаимодействии не так ли?

Cos(x-pi/2) в сообщении #1692566 писал(а):

Например, измерению как "проецированию" сопоставляются так называемые операторы проецирования на базисные состояния, это не операторы проекций спина. А из операторов проекций спина... строится оператор проекции спина на заданное направление

.
Большое спасибо за обстоятельное изложение. Выполняя измерение вдоль оси X мы как раз измеряем проекцию спина на X, т.е. результат действия оператора проекции спина на $n_x$. Как "проецирование на базисные состояния" связано с измерением вдоль оси в пространстве?

Но мне не терпится задать вопросы немного по другой теме.

Пытаюсь разобраться с описанием фотона по ЛЛIV Квантовая электродинамика параграф 7 "Сферические волны фотонов".
Изложение вызывает много вопросов.
1. Волновая функция фотона ищется в импульсном представлении, но решение представляется шаровыми векторами. Компонентами этих векторов являются функции от шаровых функций, которые являются функциями углов Эйлера. Какое же это импульсное представление?
2. В процессе изложения из IIIго тома напоминаются 2 формулы: $[l_ia_k]=ie_{ikl}a_l$ - коммутатор орбитального момента с любым вектором,
$s_ia_k=-ie_{ikl}a_l$ - действие проекции оператора спина на любой вектор. Так как оператор орбитального момента пропорционален первой производной его коммутатор с любой функцией сводится просто к действию на эту функцию. (Это отмечалось в литературе). Таким образом, хотя все свойства спина и орбитального момента одинаковы их действие на вектор оказывается противоположным по знаку! Ну допустим, что так. Тогда получим
$l_ia_k=-s_ia_k$ и $j_ia_k=0$ (j - полный момент) что неверно.
3. Углами Эйлера задается поведение системы при ее поворотах в пространстве и казалось бы не зависит от внутренних свойств системы (ее спин например). Т.е. если фотон обладает орбитальным моментом, то он должен быть определенным. Насколько я понял из изложения это не так. Как интерпретируется орбитальный момент фотона?

[talash]

OlegML в сообщении #1692843 писал(а):

Да, я слышал, это значит реализуется 3й вариант ответа. Но казалось бы измерение спина происходит всякий раз когда электрон вступает в магнитное взаимодействие с чем либо. Тогда направление спина меняется при любом, даже очень слабом взаимодействии не так ли?

Пока не произведено "измерение" взаимодействующих частиц, никакого изменения направления спина не происходит.
На эту же тему вот здесь писали post1574078.html#p1574078
Одиночный атом в вакууме испускает фотон и в тот же момент получает импульс. Фотон летит во все стороны и атом получает импульс во все стороны, начинает "расплываться". Имеем квантовую систему из двух частиц. Если над одной из них произвести измерение, обнаружить её местоположение, то и у второй оно станет определённым.

-- 30.06.2025, 12:17 --

OlegML в сообщении #1692843 писал(а):

измерение спина происходит всякий раз когда электрон вступает в магнитное взаимодействие с чем либо

Тут самое интересное что такое "измерение". Нужен ли тут наблюдатель или можно без него - я не понимаю.

[warlock66613]

talash в сообщении #1692869 писал(а):

Нужен ли тут наблюдатель или можно без него - я не понимаю.

Нужен детектор. Без детектора можно свести разделённые пучки частиц обратно в один и никакого измерения не произойдёт.

[pppppppo_98]

OlegML в сообщении #1692843 писал(а):

1. Волновая функция фотона ищется в импульсном представлении, но решение представляется шаровыми векторами. Компонентами этих векторов являются функции от шаровых функций, которые являются функциями углов Эйлера. Какое же это импульсное представление?

Разложение уравнения Максвелла по сферическим гармоникам, это не импульсное представление, а представление в полном базисе фомируемом наблюдаемыми: энергия (она же очень из квадрата импульса), полный момент, спиральность. Импульс в токам базисе не фиксирован.

-- Ср июл 02, 2025 20:31:11 --

OlegML в сообщении #1692843 писал(а):

. Углами Эйлера задается поведение системы при ее поворотах в пространстве и казалось бы не зависит от внутренних свойств системы (ее спин например).

Абсолютно твердого тела... А ЭМ поле шо абсолютно твердое тело?[quote="OlegML в сообщении #1692843"]Как интерпретируется орбитальный момент фотона?[/quote
Как оператор на пространстве волновых функций ЭМ поля...

[pppppppo_98]

забыл еще проекциб момента на выделенную ось в числе коммутирующих наблюдваемых, базиса сферических гармоник фотона

[OlegML]

pppppppo_98 в сообщении #1693119 писал(а):

Абсолютно твердого тела... А ЭМ поле шо абсолютно твердое тело?

Преобразование любой системы тел или частиц при поворотах можно описывать шаровыми функциями или функциями Вигнера, которые зависят от углов Эйлера. Т.е. состояние системы описывается положением центра масс, углами Эйлера и внутренними координатами.

pppppppo_98 в сообщении #1693127 писал(а):

Как интерпретируется орбитальный момент фотона?[/quote
Как оператор на пространстве волновых функций ЭМ поля...

Вопрос чем физически различаются фотоны с орбитальным моментом 0 и 1.

[Cos(x-pi/2)]

Вообще в квантовой механике состояния частицы с различным орбитальным моментом $l$ различаются просто-напросто трансформационными свойствами волновых функций этих состояний (в $\mathbf{r}$-представлении или в $\mathbf{k}$-представлении - можно или то, или то рассматривать) при поворотах. Т.е. различие заключено в том, как волновые функции зависят от угловых переменных. Говоря наглядно: различие - в форме полевой конфигурации, которой определяются вероятности обнаружения частицы.

Применительно к векторному потенциалу в $\mathbf{k}$-представлении полевой конигурацией является фурье-коэффициент $\mathbf{A}(\mathbf{k},t)$ в разложении $\mathbf{A}(\mathbf{r},t)$ по плоским волнам (аргумент $t$ опускаю для краткости):

$$\mathbf{A}(\mathbf{r})=\int \frac{d^3\mathbf{k}}{(2\pi)^3}\,\mathbf{A}(\mathbf{k})\,e^{i\mathbf{k}\cdot \mathbf{r}}$$

По шаровым векторам $\mathbf{Y}_{jj_z}(\mathbf{n})$ разлагается $\mathbf{A}(\mathbf{k}),$ т.е. аргументы шаровых векторов здесь это углы "радиус-вектора" $\mathbf{k}$ (или, что то же самое, углы единичного вектора $\mathbf{n}=\frac{\mathbf{k}}{|\mathbf{k}|})$ в $\mathbf{k}$-пространстве.

Здесь $j$ и $j_z$ это полный момент и его проекция, связанные с орбитальным моментом $l$ и спином $s=1$ квантово-механическим правилом "сложения" моментов. По этому правилу при заданном $j>0$ может быть $l=j-1,\,j,\,j+1.$ Т.е. шаровые векторы с заданным $j$ представляются суперпозицией шаровых векторов $\mathbf{Y}_{jlj_z}$ с различными значениями $l.$ Это означает, что фотон в состоянии с определённым полным моментом $j$ не имеет определённого значения $l.$ Т.е. орбитальный момент $l$ для фотона не имеет самостоятельного физ. смысла; различными $l$ просто формируются угловые зависимости функций $\mathbf{Y}_{jlj_z}(\mathbf{n}),$ из которых складывается итоговая суперпозиция - конфигурация $\mathbf{A}(\mathbf{k}).$ (Имхо. Так понимаю написанное в ЛЛ-4 и у Ахиезера с Берестецким в "КЭД".)

[pppppppo_98]

OlegML в сообщении #1693237 писал(а):

Преобразование любой системы тел или частиц при поворотах можно описывать шаровыми функциями или функциями Вигнера, которые зависят от углов Эйлера. Т.е. состояние системы описывается положением центра масс, углами Эйлера и внутренними координатами.

видите ли уважаемый если тел (материальных точек) в системе n>=3 и нету связей , то число независимых координат (размер конфигурационного пространства) 3n, и никоим образом никакими углами эйлера эту систему не описать (ща есть модная книга/фильм задача трех тел, вот попробуйте эиу систему описать тремя углами эйлера )... И только твердое тело в которой 100500 материальных точек (МТ), но 3*100500-6 независимых уравнений связи меду этими МТ, что дает возможность описывать эту систему тремя координатами и 3 углами эйлера... Но это далеко не универсально...

ЭМ поле описывается же (бесконечным) количеством мод, ака решений уравнений максвелла, допустимых при данных граничных условиях. четветрой книге юытия приводятся лишь два базиса, важнейших для описания явлений излучения/рассеяния - со свободным полем на бесконечности, чему посвящена чуть менее, чем полностью эта книга. Но есть и многия другия базисы(моды)- например спиральные волны.

OlegML в сообщении #1693237 писал(а):

Вопрос чем физически различаются фотоны с орбитальным моментом 0 и 1.

волновой функцией, и стало быть характером взаимодействием с веществом (сечениями рассеяния или периодами полураспада)...В атомной физике таковых явлений почти нет, а вот в ядерной физике -полно метастабильных состояний, в котром система распадается ну очень медленно (до миллионов лет) из-за того что верхнее и нижнее состояния имеют большую разницу в моменте, и стало быть из квантовых законов должен испуститься фотон с высоким моментом, что эффективно запрещено

http://nuclphys.sinp.msu.ru/radioactivity/ract06.htm
http://lnfm1.sai.msu.ru/~milkyway/Books ... _Stars.pdf (1.7.2 - обратите внимание на зависисость констант распада от момента)