Условная вероятность

[adfg]

Возникли вдруг какие-то сомнения, поэтому прошу проверить корректность следующего рассуждения. Пусть $X_1, X_2,X_3$ - независимые случайные величины, причем $X_1, X_2$ - одинаково распределены. Тогда имеем:

$$\begin{align}\begin{split} \mathsf{P}[\mathsf{\max}(X_1,X_2)<X_3]=\mathsf{E}\mathsf{P}[\mathsf{\max}(X_1,X_2)<X_3|X_3]=\\ =\mathsf{E}(\mathsf{P}[ X_1<X_3 |X_3 ])^2\geqslant(\mathsf{E}\mathsf{P}[X_1<X_3 |X_3 ])^2=(\mathsf{P}[X_1<X_3])^2 \end{split}\end{align}$$

Все ли здесь верно? Заранее благодарю

[Combat Zone]

Да. Но "в лоб", думаю, было бы проще. Это дальше упрощается, наверное, вы в курсе.

[adfg]

Combat Zone в сообщении #1692452 писал(а):

Да. Но "в лоб", думаю, было бы проще. Это дальше упрощается, наверное, вы в курсе.

Спасибо большое! Нет, я не знаю. И "в лоб" не знаю, и дальше не в курсе... Расскажите
Вообще это не отдельная задача. Я просто выдрал откуда-то отдельный технический прием, чтобы убедиться что он применен корректно, и сформулировал в самом простом виде каком только смог. Поэтому о тонкостях не в курсе

[Combat Zone]

adfg в сообщении #1692456 писал(а):

Я просто выдрал откуда-то отдельный технический прием, чтобы убедиться что он применен корректно,

А где именно возникли сомнения, в таком случае?

adfg в сообщении #1692456 писал(а):

Расскажите

Постараюсь. Чуть позже.

[adfg]

Combat Zone в сообщении #1692460 писал(а):

А где именно возникли сомнения, в таком случае?

Ну мне не каждый день подобное встречается. Кусок был важный, хотелось лишний раз убедиться, что я там ничего не накосячил. Можно уже в принципе больше ничего не писать, остальное мне не сильно важно. Уже придали уверенности, спасибо

[Combat Zone]

Ну если подробно не надо, то это просто неравенство Йенсена.

[adfg]

Ну это ровно то что у меня написано. Там не Йенсен даже, а обычный Коши-Буняковский. Или Вы его хитро как-то хотите применять, "в лоб", не переходя к условным вероятностям?

[Combat Zone]

adfg в сообщении #1692467 писал(а):

Там не Йенсен даже, а обычный Коши-Буняковский.

Совершенно верно. Или свойство дисперсии, это непринципиально совсем.
Мне так и осталось непонятно, что было непонятно, вы сказали, что можно больше ничего не писать, вам было важно только подтверждение, для убедительности. Откуда ж мне знать, что вам нужно?
Не переходя - да, конечно, можно. Но если этот способ уже лег на душу, то может, и не нужно?

Для абсолютно непрерывных они еще и считаются, вероятность максимума - 1/3, квадрат вероятности - 1/4. Это можно и сразу сказать, ибо очевидно, и припахать аппарат случайных величин, интегралы и все такое.
В общем случае, конечно, так не выйдет.