Уравнение с квадратными корнями

[Twidobik]

Здравствуйте, уважаемые форумчане!
Будьте добры, подскажите, пожалуйста. Имеется следующее уравнение (с Олимпиады 2009 года):
$\sqrt{8x^2-14x+5}-\sqrt{4x^2-1}=\sqrt{2x^2+x-1}$
Решение, которое приводится, предполагает сходу дважды возведение в квадрат, получение уравнения 4-ой степени, ввиду очевидности у исходного уравнения корня $\frac{1}{2}$ деление многочлена 4-ой степени на $(x-\frac{1}{2})$, далее деление получившегося многочлена третьей степени снова на $(x-\frac{1}{2})$ (нужно догадаться, что этот корень дублируется) и т.д. Очень громоздкое и трудное решение.

У меня решение намного менее громоздкое. Но не уверен, что правильное.
ОДЗ исходного уравнения: $x\in(-\infty;-1]\cup[\frac{5}{4};+\infty)$

Раскладываем на множители:
$\sqrt{2(4x-5)(x-\frac{1}{2})}-\sqrt{2(x-\frac{1}{2})(2x+1)}-\sqrt{2(x-\frac{1}{2})(x+1)}=0$
Понимаем, что $x=\frac{1}{2}$ - корень. Выносим за скобки $\sqrt{x-\frac{1}{2}}$. Произошло сужение ОДЗ, новое ОДЗ: $x\geqslant\frac{5}{4}$. Но вообще говоря, если мы ещё учтём, что левая часть уравнения (в том виде, в котором оно записано ниже) должна быть положительна, то получаем $4x-5\geqslant2x+1$$\Leftrightarrow$$x\geqslant3$
$\sqrt{(4x-5)}-\sqrt{(2x+1)}=\sqrt{(x+1)}$
Дважды возводя обе части в квадрат, получим квадратное уравнение с отрицательным корнем и корнем $x=\frac{9}{7}$, который не удовлетворяет условию $x\geqslant3$.

Это всё понятно. Но вот дальше как будто бы можно проделать следующее, но я в этом не уверен.
Поскольку мы сузили ОДЗ, мы могли потерять корни на промежутке $x\in(-\infty;-1]$. По сути, вынеся за скобки $\sqrt{x-\frac{1}{2}}$, мы решили уравнение так, как будто выражение ${x-\frac{1}{2}$ было положительным. Теперь предположим, что оно отрицательно, тогда все выражения под квадратными корнями просто изменят свои знаки на противоположные, то есть получим уравнение
$\sqrt{(-4x+5)}-\sqrt{(-2x-1)}=\sqrt{(-x-1)}$
ОДЗ у последнего уравнения как раз $x\in(-\infty;-1]$.
Решаем, дважды возводя в квадрат, получаем один положительный корень и корень $x=-5$
Ответ:$ x=\frac{1}{2}$; $x=-5$

Верное ли такое решение или нет?
Спасибо!

[Combat Zone]

Верно, только оформление нуждается в коррекции.
Во-первых, вы потеряли в ОДЗ исходного уравнения 1/2 :)
А дальше смотрим три случая $x=1/2$ (убеждаемся, что корень), и $x>1/2$, то есть больше 5/4, а потом $x<1/2$, то есть меньше -1. Вы практически это и делаете. Все, что нужно - выглядеть убедительней.

[wrest]

Twidobik в сообщении #1692137 писал(а):

Раскладываем на множители:
$\sqrt{2(4x-5)(x-\frac{1}{2})}-\sqrt{2(x-\frac{1}{2})(2x+1)}-\sqrt{2(x-\frac{1}{2})(x+1)}=0$
Понимаем, что $x=\frac{1}{2}$ - корень.

Вот досюда прям хорошо. Вы не просто угадали корень $x=1/2$ а честно нашли его просто решив (при разложении на множители) три квадратных уравнения. Их ведь решать надо было по любому - для определения ОДЗ.
Я бы дальше предложил оформить так.
Пусть $t=2x-1$ тогда имеем
$\sqrt{t(4x-5)}-\sqrt{t(2x+1)}-\sqrt{t(x+1)}=0$
И тут вставить ваше рассуждение в более "строгом" виде
Предположим что $t>0$, тогда выносим за скобки $\sqrt{t}$, делим на него и решаем. Решений в ОДЗ нет.
Если же предположим что $t<0$, то выносим за скобки $\sqrt{(-1)\cdot t}$, делим на него и решаем. Находим решение в ОДЗ $x=-5$
Но в вашем способе двойное возведение в квадрат пришлось делать дважды. Разве это менее муторно чем сделать это один раз, хотя и получив уравнение 4-й степени? Впрочем, преимущество вашего решения в том, что не пришлось угадывать, что корень $x=1/2$ кратный, а всё решение -- честное, без озарений.