Грнаицы меры Жордана

[Anna Maria]

Дано множество $A=\left\lbrace x,y \in \mathbb{R}^2: x\in [0;1]\setminus\mathbb Q$ $\wedge$ y\in [0;1]\setminus\mathbb Q\right\rbrace$. Нижняя мера sk будет равна пустому множеству и верхняя мера Жордана $Sk = [0;1]\times[0;1]$. Но я не совсем понимаю почему верхняя мера ограничатся $ [0;1]\times[0;1]$, а не выходит за его пределы (то есть почему не будет к примеру $[0-\frac{1}{2^k};1+\frac{1}{2^k}]\times[0-\frac{1}{2^k};1+\frac{1}{2^k}]$)?

[dgwuqtj]

Приведите определение верхней меры Жордана. Что-то мне кажется, что это не подмножество плоскости, а число.

[Anna Maria]

dgwuqtj в сообщении #1691007 писал(а):

Приведите определение верхней меры Жордана. Что-то мне кажется, что это не подмножество плоскости, а число.

Как правило просто пишут число, но у меня в задании помимо этого просится писать именно как выглядит множество Sk. Но если писать определение, то $ Sk(A) = $\bigcup\limits^{Qn\bigcap A \ne\varnothing} Qn$$, где соответственно Qn это квадраты на которые мы разбиваем пространство.

[dgwuqtj]

То есть вы разбиваете плоскость на квадраты, а потом из них собираете множество $Sk(A)$. Точно не нужно брать пересечение таких штук по всё более мелким разбиениям плоскости?

[Anna Maria]

dgwuqtj в сообщении #1691019 писал(а):

То есть вы разбиваете плоскость на квадраты, а потом из них собираете множество $Sk(A)$. Точно не нужно брать пересечение таких штук по всё более мелким разбиениям плоскости?

Ну, по сути плоскость разбивается на квадраты Qn, где длинна сторон квадратов $1/2^k$, где k фиксировано и натуральное число или 0. $Sk(A)$ состоит из данных квадратов и покрывает множество А. Определение $Sk(A)$ брала из учебника Л. Д. Кудрявцева.

[dgwuqtj]

Anna Maria в сообщении #1691002 писал(а):

Но я не совсем понимаю почему верхняя мера ограничатся $ [0;1]\times[0;1]$, а не выходит за его пределы (то есть почему не будет к примеру $[0-\frac{1}{2^k};1+\frac{1}{2^k}]\times[0-\frac{1}{2^k};1+\frac{1}{2^k}]$)?

Потому что маленькие квадратики вне открытого квадрата $(0, 1) \times (0, 1)$ не пересекают множество $A$.

[Anna Maria]

dgwuqtj в сообщении #1691032 писал(а):

Anna Maria в сообщении #1691002 писал(а):

Но я не совсем понимаю почему верхняя мера ограничатся $ [0;1]\times[0;1]$, а не выходит за его пределы (то есть почему не будет к примеру $[0-\frac{1}{2^k};1+\frac{1}{2^k}]\times[0-\frac{1}{2^k};1+\frac{1}{2^k}]$)?

Потому что маленькие квадратики вне открытого квадрата $(0, 1) \times (0, 1)$ не пересекают множество $A$.

Вы имеете в виду, что у маленьких квадратиков нет общих сторон и/или общих точек вне квадрата $[0, 1] \times [0, 1]$?

[dgwuqtj]

Маленькие квадратики бывают двух видов: те, которые лежат в $[0, 1] \times [0, 1]$, и те, которые лежат снаружи $(0, 1) \times (0, 1)$. Вот вторые не пересекают $A \subseteq (0, 1) \times (0, 1)$.

[Anna Maria]

dgwuqtj в сообщении #1691036 писал(а):

Маленькие квадратики бывают двух видов: те, которые лежат в $[0, 1] \times [0, 1]$, и те, которые лежат снаружи $(0, 1) \times (0, 1)$. Вот вторые не пересекают $A \subseteq (0, 1) \times (0, 1)$.

Кажется, я стала понимать. Получается, так как множество А состоит из точек, где обе координаты иррациональным, то нам не подходят его границы, так как они состоят из точек [x;1] и [1;y], то есть как минимум одна сторона рациональна. Так выходит?

[dgwuqtj]

Да.