Обобщение теоремы Гливенко и Кантелли

[ihq.pl]

Пусть $\xi_1,\xi_2,...$ - последовательность независимых копий случайной величины $\xi$ со значениями в $\mathcal{X} = \mathbb{R}^m$;
$\mathsf{P}(B)=\mathsf{P}(\xi\in B)$ - распределение в $\mathcal{X}$;
$\mathfrak{C}$ - класс всех выпуклых множеств в $\mathcal{X}$;
$\mathsf{P}^\ast_n(B)$ - эмпирическое распределение:

$$\mathsf{P}^\ast_n(B) = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n I(\xi_i\in B).$$

Теорема. Пусть $\mathsf{P}$ абсолютно непрерывно относительно меры Лебега в $\mathbb{R}^m$. Тогда с вероятностью единица

$$\sup_{B\in\mathfrak{C}}|\mathsf{P}^\ast_n(B) - \mathsf{P}(B)|\to 0.\eqno{(1)}$$

Замечание. Требование абсолютной непрерывности $\mathsf{P}$ относительно меры Лебега существенно. На это указывает следующий пример. Пусть $\mathsf{P}$ есть равномерное распределение на единичной окружности в $\mathbb{R}^2$; $A_n$ - замкнутый многоугольник с вершинами в точках $\mathrm{x}_1,...,\mathrm{x}_n$, лежащих на окружности. Это выпуклое множество. Однако $\mathsf{P}(A_n) = 0$, $\mathsf{P}^\ast_n(A_n) = 1$, и, следовательно соотношение (1), где $\mathfrak{C}$ - класс выпуклых множеств, не верно.

Пример в замечании озадачил. Как это понять? $\mathsf{P}$ есть равномерное распределение на единичной окружности в $\mathbb{R}^2$. Разве это не означает, что $\mathsf{P}$ является функцией подмножеств этой окружности? При чем здесь тогда вписанный в неё многоугольник $A_n$?

[Combat Zone]

ihq.pl в сообщении #1690540 писал(а):

$\mathsf{P}$ есть равномерное распределение на единичной окружности в $\mathbb{R}^2$. Разве это не означает, что $\mathsf{P}$ является функцией подмножеств этой окружности?

Не значит. У нее носитель - окружность. На любом множестве вне окружности она нулевая.

[ihq.pl]

Combat Zone, спасибо. теперь понятно. И почему не сказать "носитель на окружности" или "мера сосредоточена на окружности"? Тот же автор (Боровиков) в случае дискретной случайной величины со значениями в $\mathbb{R}$ говорит "вероятность сосредоточена в точках".

[Combat Zone]

Потому что равномерное распределение на единичной окружности в $\mathbb{R}^2$ подразумевает в том числе и это в точности. Но требуется больше. Вы все Ширяева читаете? Вроде там это есть.

[ihq.pl]

Combat Zone в сообщении #1690557 писал(а):

Вы все Ширяева читаете?

Это из Статистика, Боровиков.

[Combat Zone]

Ну не важно. Представьте себе, есть у вас колечко из проволоки. Вся "плотность" там. С вероятностью единица, естественно. Но она же может быть вдоль колечка размазана неравномерно.

Точное определение должно еще и эту равномерность вдоль окружности учитывать, а не только носитель.
Например, так: случайная величина $\xi = (\xi_1,\xi_2)$ распределена равномерно на окружности с центром в 0 радиуса 1 в $\mathbb R^2$, если $\xi_1^2+\xi_2^2 =1$ и полярный угол радиус вектора точки $\xi$ распределен равномерно на отрезке $[0,2\pi)$.

Или параметризуете окружность с помощью полярного угла $\varphi$ и задаете распределение так:
$\xi_1 = \cos \varphi$,
$\xi_1 = \sin \varphi$,

где с.в. $\varphi$ - распределена равномерно на отрезке $[0,2\pi)$.

Иначе вы ни одной вероятности не посчитаете. Чему равна вероятность, что точка попала в полуокружность, если сказать только про носитель?

-- 15.06.2025, 11:51 --

ihq.pl в сообщении #1690559 писал(а):

Боровиков.

Боровков он.

[ihq.pl]

Combat Zone в сообщении #1690560 писал(а):

Иначе вы ни одной вероятности не посчитаете. Чему равна вероятность, что точка попала в полуокружность, если сказать только про носитель?

Да, сейчас понимаю.