Развод с теорией множеств

[EminentVictorians]

Небольшая предыстория. В общем, меня уже год как минимум стала конкретно так напрягать теория множеств. Раньше она мне нравилась, потому что с помощью неё я ответил на ряд важных для себя вопросов (про что такое натуральные числа, дроби, функции, вложения, и тд). Но потом я поймал себя на мысли, что у ТМ есть и другая, отрицательная сторона. Из минусов, которые я для себя выделил:

1) Множества очень "конкретные". Если убрать из множества один элемент - это станет уже другое множество (т.е. все элементы равнозначны друг с другом в смысле значимости для "жизненного цикла" множества).

2) Множеств много. А раз их много, и они очень конкретные - совсем не удивительно, что одна и та же математическая идея будет находить выражение в разных множествах, т.е. в разных конкретных реализациях (тут можно вспомнить например модели действительных чисел). Эти модели по сути используются только на самых начальных уровнях построения теории - потом мы от всей этой конкретики абстрагируемся и используем пул сформулированных теорем, а не детали конструкции.

3) Язык теории множеств слишком сильный. Это значит, что мы можем, например, мастерить любые самые разнообразные функции, типа функции Дирихле или blip-функции. Из плюсов - что у нас теперь много функций. Из минусов - что становится очень сложно формулировать какие-то общие теоремы о них. Если брать полное архимедово упорядоченное поле ($\mathbb R$), то там нет бесконечно малых и надо формулировать определение предела с тремя или сколько там кванторами. К самому определению, может быть и можно привыкнуть, но на практике, потом, чтобы доказывать теоремы, приходится жонглировать довольно сложными утверждениями, в которых гораздо больше чем 3 квантора. Для этого даже название есть, что-то типа кванторный взрыв или как-то так. А учитывая, что психика человека так устроена, что мы можем держать в голове не так уж и много кванторов одновременно - это становится реальной проблемой. Есть методы в матанализе (классическом) как эту проблему решить - та же о-нотация, собственно, ради этого и создавалась, чтобы спрятать кванторы. Но это так себе решение. Отсюда же понятно, почему в матанализе столько много всяких церемониальных танцев с выбором эпсилонов, оценках, и тп.

4) А если брать неархимедово упорядоченное поле, то там бесконечно малые становятся никак не связаны со стандартными числами - нету связности в топологии порядка. И это никак не лечится - это общая беда всех неархимедовых упорядоченных полей, расширяющих действительные числа.

5) Хоть классический подход и позволяет, в теории, делать то же самое что и, например, нестандартный анализ, в действительности это "то же самое" имеет довольно формальный смысл (в том плане, что теории классического анализа и нестандартного элементарно эквивалентны). Ситуация напоминает связь ZFC и NBG. Вторая консервативна над первой, и поэтому, может показаться, что про обычные привычные нам множества NBG ничего нового не скажет. Но это формальный факт. Я где-то читал тут на форуме, что при реальном переводе выводов из NBG в ZFC длина вывода растет экспоненциально, поэтому на практике NBG-доказательства могут очень сильно помочь за счет возможности переменным бегать по классам.

6) Континуум. Что такое континуум - никто не знает. Что-то интуитивное, на кончиках пальцев. Всем известный $\mathbb R$ - это не континуум, это его модель. Но поскольку "реальный континуум" - это совершенно невнятное понятие, все и договорились под континуумом понимать $\mathbb R$. Вот только точно ли $\mathbb R$ - хорошая модель континуума? $\mathbb R$ состоит из точек. Основной вещью, которую континуум был призван моделировать, было время. Но если подумать, получается, что мы время отождествляем с множеством мгновенных моментов времени (с множеством точек). А это совсем не очевидно, что так надо делать. Может быть стоит иметь какую-то штуку, где помимо моментов времени есть элементарные "таймлайны" - достаточно маленькие чтобы их не замечать, но достаточно большие, чтобы не сводиться к точкам. А может быть вообще в континууме нету никаких точек?

7) Насчет точек. А не является ли эта фиксация на точках очередной теоретико-множественной подставой? Множества статичны по своей природе. А нерерывность - это что-то про динамику. Может быть в том, что непрерывность тяжело моделируется в теории множеств - виновата не непрерывность, а теория множеств?


Ну и как результат - я захотел иметь базовую теорию гораздо слабее чем теория множеств, но чтобы определения и выкладки были проще. Да, в этой моей гипотетической идеальной теории я не смогу определить функцию Дирихле. Да и не важно, не в этом счастье. Но зато в этой теории было бы больше непрерывных функций (а может быть непрерывными были бы все?...)

Тема разговорная, просто поговорить хочу обо всем этом.

[Dedekind]

EminentVictorians в сообщении #1690339 писал(а):

Но зато в этой теории было бы больше непрерывных функций (а может быть непрерывными были бы все?...)

Я не то чтобы специалист, просто мимокрокодил. Но слышал, например, что в дискретной топологии все функции непрерывны. Это Вас не устраивает?

[пианист]

(Оффтоп)

Цитата:

“Would you tell me, please, which way I ought to go from here?”
“That depends a good deal on where you want to get to,” said the Cat.
“I don’t much care where—” said Alice.
“Then it doesn’t matter which way you go,” said the Cat.
“—so long as I get somewhere,” Alice added as an explanation.
“Oh, you’re sure to do that,” said the Cat, “if you only walk long enough.”

[Alexandr Gavrichenko]

EminentVictorians в сообщении #1690339 писал(а):

Что такое континуум - никто не знает.

EminentVictorians в сообщении #1690339 писал(а):

Насчет точек. А не является ли эта фиксация на точках очередной теоретико-множественной подставой?

Н.Н. Лузин, Лекции об аналитических множествах и их приложениях писал(а):

Целью теории множеств является вопрос чрезвычайной важности: можно или нет рассматривать линейную протяженность атомистическим образом как множество точек; вопрос этот, кстати, уже не нов и восходит к эллинам.

EminentVictorians в сообщении #1690339 писал(а):

ZFC

Последняя буква C в этой аббревиатуре приводит к магическим фокусам: превращению одного яблока в два. Это называется парадоксом Банаха-Тарского. Поэтому большая часть современной математики сомнительна, поскольку строится на ZFC. Не возникнет ли контрпримеров к доказанным теоремам, если попытаться найти этот контрпример, реализуя конструкцию Банаха-Тарского в терминах опровергаемой теоремы?

Буква C ("аксиома Цермело") эквивалентна лемме Цорна. Поэтому можно рассмотреть аксиоматику "ZF + лемма Цорна". Тогда в этой аксиоматике конструкция Банаха-Тарского станет выражена в терминах упорядоченных множеств.

Следующий вопрос нетривиален: на лемме Цорна базируется утверждение о существовании максимального идеала кольца. Как будет выглядеть в терминах идеалов кольца конструкция Банаха-Тарского?

EminentVictorians в сообщении #1690339 писал(а):

базовую теорию гораздо слабее чем теория множеств

Существует конструктивизм (Л.Э.Я. Брауэр, А.А. Марков-младший, Г.С. Цейтин...). Вышеупомянутый Н.Н. Лузин был против этого подхода (то есть, против брауэровского интуиционизма). Математическими объектами в конструктивизме признаются только те, что являются вычислимыми. В математической теории рассматриваются только те объекты, для которых существует алгоритм их порождающий. Алгоритм можно понимать, например, как алгорифм Маркова.

[Anton_Peplov]

EminentVictorians
Вы смешали коней с людьми, а потом еще и гомогенизировали в измельчителе.

EminentVictorians в сообщении #1690339 писал(а):

Множества очень "конкретные". Если убрать из множества один элемент - это станет уже другое множество (т.е. все элементы равнозначны друг с другом в смысле значимости для "жизненного цикла" множества).

Семьи тоже очень конкретные. Если в Вашей семье заменить одного человека на другого, это будет уже другая семья, нет? Схемы лечения очень конкретные. Перепутает Вам врач одно лекарство с другим и получите слабительное со снотворным. Иначе говоря, бывают ситуации, в которых детали важны. Если детали не важны, есть много способов от них абстрагироваться. Например, факторизация, она же переход к классам эквивалентности.

EminentVictorians в сообщении #1690339 писал(а):

Из минусов - что становится очень сложно формулировать какие-то общие теоремы о них.

А зачем Вам теоремы обо всех функциях сразу? А теоремы обо всех группах сразу Вам не нужны? Так ведь любая такая теорема тривиальна либо неверна, и это не я сказал. Да, обо всем сразу ничего интересного сказать нельзя. Ну выбирайте класс функций, который Вам нравится, и доказывайте теоремы о нем. Хоть дифференцируемые, хоть непрерывные, хоть какие. Математика тем и занимается, что выбирает класс объектов и исследует его. А теория множеств тем и хороша, что позволяет в случае надобности все эти разговоры выразить на одном языке.

EminentVictorians в сообщении #1690339 писал(а):

Что такое континуум - никто не знает.

Континуум - это такая мощность.
Не благодарите.

EminentVictorians в сообщении #1690339 писал(а):

Основной вещью, которую континуум был призван моделировать, было время.

Время, как и любую физическую величину, можно моделировать и множеством рациональных чисел. Поскольку любой прибор для его измерения все равно имеет конечную точность, читай обрывает число на каком-то знаке после запятой. Вот только математика, связывающая эти величины, будет трудная и уродливая. Определять непрерывные и дифференцируемые функции на $\mathbb R$ нужно не чтобы глубже осознать идею времени, а чтобы дифуры составлять и решать.

EminentVictorians в сообщении #1690339 писал(а):

Может быть стоит иметь какую-то штуку, где помимо моментов времени есть элементарные "таймлайны" - достаточно маленькие чтобы их не замечать, но достаточно большие, чтобы не сводиться к точкам.

Приведите пример физической задачи, которую так будет проще решить.

EminentVictorians в сообщении #1690339 писал(а):

А может быть вообще в континууме нету никаких точек?

А может быть, в треугольнике нету никаких углов? Континуум - это математическое понятие с точным определением, а не размытая идея "чего-то такого сплошного" в нашей голове. Для идеи "чего-то такого сплошного", повторюсь, хватит $\mathbb Q$. А что полезного можно сделать с "чем-то таким сплошным без точек", ума не приложу.

EminentVictorians в сообщении #1690339 писал(а):

Множества статичны по своей природе. А непрерывность - это что-то про динамику.

"Что-то про динамику" - это функции. Которые, сюрприз, тоже множества.

EminentVictorians в сообщении #1690339 писал(а):

Может быть в том, что непрерывность тяжело моделируется в теории множеств - виновата не непрерывность, а теория множеств?

А что такого тяжелого в определении непрерывности? Если тяжело усвоить определение за первый курс, боюсь, никакая новая теория не поможет. Думать придется с любой теорией.

EminentVictorians в сообщении #1690339 писал(а):

Но зато в этой теории было бы больше непрерывных функций (а может быть непрерывными были бы все?...)

Здрасьте, приехали. Непрерывность зависит от топологии. Как Вам уже указали, есть топологии, в которых любая функция непрерывна.

Если Вас интересуют только непрерывные функции $\mathbb R \to \mathbb R$ с канонической топологией, то и начните теорему с "пусть функция непрерывна".

EminentVictorians в сообщении #1690339 писал(а):

Тема разговорная, просто поговорить хочу обо всем этом.

Оно и видно. Опять мечтаете о волшебных теориях, которые все будут вычислять за Вас по щучьему велению без малейших умственных усилий. Так не бывает.

[dgwuqtj]

EminentVictorians в сообщении #1690339 писал(а):

Отсюда же понятно, почему в матанализе столько много всяких церемониальных танцев с выбором эпсилонов, оценках, и тп.

Это обычно делается или для приложений, когда нужны точные оценки, или для тренировки студентов-первокурсников.

EminentVictorians в сообщении #1690339 писал(а):

я захотел иметь базовую теорию гораздо слабее чем теория множеств, но чтобы определения и выкладки были проще.

Вы хотите иметь именно формальную теорию? На практике формальной ZFC пользуются только пруфчекеры (Metamath), а люди применяют метарассуждения и записывают всё на естественном языке.

Мне в какой-то момент тоже хотелось более приятную теорию для оснований математики, где уже будут топологические пространства, но не будет дискретных множеств мощности континуум и т.п. А потом я вспомнил, что иногда на множестве есть сразу несколько полезных топологий, например, обычная и слабая на сепарабельном гильбертовом пространстве. И вообще выяснилось, что в математике иногда приходится работать в разных категориях, непохожих на $\mathbf{Set}$, но с богатой внутренней логикой (как в топосах, но бывают варианты слабее и сильнее)...

То есть для работающего математика важны не удобные основания, а удобный фреймворк из математических объектов. Когда не устраивают голые множества, на их основе легко сконструировать что угодно, этим они и ценны.

EminentVictorians в сообщении #1690339 писал(а):

А не является ли эта фиксация на точках очередной теоретико-множественной подставой?

Используйте локали вместо топологических пространств, например.

EminentVictorians в сообщении #1690339 писал(а):

Что такое континуум - никто не знает.

В топологии есть определение.

-- 14.06.2025, 10:18 --

Есть более слабые теории, чем ZFC, на которых можно строить часть математики. Арифметика Пеано, арифметика второго порядка, теории множеств без аксиомы степени или схемы аксиом преобразования...

[Ende]

Тема перемещена из форума «Беседы на околонаучные темы» в форум «Дискуссионные темы (М)»
Причина переноса: обсуждение оснований математики лучше вести здесь. Вообще, не надо создавать в "Беседах" темы, для которых есть профильный раздел.

[EminentVictorians]

Dedekind в сообщении #1690348 писал(а):

Но слышал, например, что в дискретной топологии все функции непрерывны. Это Вас не устраивает?

Не устраивает. Дискретная топология - это когда мы все подмножества объявили открытыми. Множества то остались множествами. А значит и сами множества свою "жесткость" не потеряли, и функций между ними как было много, так и осталось, и самих множеств все еще много. Ничего не изменилось. Мы просто злоупотребили формализмом. А вот то, что формализм point-set топологии позволяет нам так собой злоупотреблять - это не очень хорошо, с моей точки зрения. Определение такой непрерывности (через прообраз открытого открыт, а открытость через подмножество булеана) слишом широкое. Мне нужен выход не в этом, а в ограничении самого языка.

Anton_Peplov в сообщении #1690359 писал(а):

"Что-то про динамику" - это функции. Которые, сюрприз, тоже множества.

А почему не стрелки? Или почему не лямбда термы? Вы просто сильно прикипели к теории множеств и смешиваете понятие и его теоретико-множественную формализацию. Функции были до Кантора с его множествами и Куратовского с его упорядоченными парами. И скорее всего будут после (просто в другой ипостаси).

Anton_Peplov в сообщении #1690359 писал(а):

Время, как и любую физическую величину, можно моделировать и множеством рациональных чисел.

Время может быть и можно, а вот расстояния (в нашем обычном евклидовом трехмерии) уже сложнее. Хочется, чтобы у квадратов были диагонали. Но я согласен, что какое-то моделирование расстояний можно делать не выходя из $\mathbb Q$. Вот только разве это аргумент? Мы же как раз хотим, чтобы наши модели были лучше и точнее (а не соревнуемся, кто больше геометрии смоделирует в заведомо не подходящей модели). Так что можно то можно, но не нужно.

Anton_Peplov в сообщении #1690359 писал(а):

Непрерывность зависит от топологии. Как Вам уже указали, есть топологии, в которых любая функция непрерывна.

Да не обязана концепция непрерывности зависеть от топологии, про которую Вы сейчас говорите. Точно так же как топология не обязана быть привязанной к множествам и точкам, из которых эти множества состоят. Точно так же как функция не обязана быть упорядоченной тройкой из домена, графика и кодомена. Это все теоретико-множественные модели концепций, а не сами концепции.

[EminentVictorians]

dgwuqtj в сообщении #1690365 писал(а):

Вы хотите иметь именно формальную теорию? На практике формальной ZFC пользуются только пруфчекеры (Metamath), а люди применяют метарассуждения и записывают всё на естественном языке.

Ну мы это уже обсуждали. Хоть обычно ZFC используют неформально, все эти неформальные рассуждения все равны вдохновлены ZFC-шными множествами.

Приведу такой пример. Вот пусть у нас есть какая-то числовая прямая R (пока не важно, что это такое). Допустим, я говорю следующее: все функции вида R -> R у нас гладкие. Обычный математик, который всю жизнь провел в ZFC, сразу начнет задавать вопросы:
1) Что такое R? Из каких элементов оно состоит?
2) Как это все функции гладкие? Вон функция Дирихле - она что гладкая что ли?
3) Что такое "гладкая"?

Если я скажу, что производная - это буквально отношение бесконечно малых чисел: $\frac{f(x+\varepsilon) - f(x)}{\varepsilon}$, то сразу возникнет вопрос: что такое это $\varepsilon$. Элемент какого множества?


Все эти вопросы возникают именно из-за привычки к теории множеств. Да, её используют неформально, но это не отменяет того факта, что она настолько сильно въедается в мозги, что даже предположить возможность того, что иногда не обязательно на любой чих строить теоретико-множественную модель -- психологически сложно. Такие вопросы могут возникать только у человека, который живет в этом "мире теоретико-множественного дискурса". Был бы "мир дискурса" иной, эти вопросы были бы просто бессмысленны.



Насчет теории множеств есть еще один пункт, который меня напрягает. Теория множеств провоцирует платонизм. Мы используем множества так, будто они сущестуют в каком-то идеальном мире множеств. А раз множество существует и неизменно, значит любой факт про него либо истинный, либо ложный. Это в чистом виде платонизм. (я раньше не считал себя платонистом, но это просто потому что я это слово понимал не совсем так, как надо; в действительности сложно не быть платонистом, веря в теорию множеств). И если теперь предположить, что в нашем "пространстве дискурса" сам наш язык не такой сильный как теоретико-множественный, значит в рамках нашего языка мы просто не можем выяснить некоторые подробности внутреннего устройства объектов. Сам язык нас ограничивает! Как тогда можно однозначно утверждать, что какое-то утверждение либо истинно, либо ложно? Никак. Т.е. если мы работаем не в таком "детализированном" топосе, как Set, значит сам бог велел использовать интуиционистскую логику! Мне интересно, в верном ли направлении мои ощущения относительно всей этой истории с интуиционистской логикой в топосах?

[dgwuqtj]

EminentVictorians
Вы бы познакомились с каким-то реальным применением топосов к более привычным объектам, что ли... В рамках ZFC тоже на многие вопросы ответить нельзя, начиная с континуум-гипотезы, есть даже статья The set-theoretic multiverse.

Переписывать всю математику на интуиционистскую логику можно, этим кто-то занимается, но получается неэффективно.

[EminentVictorians]

dgwuqtj в сообщении #1690426 писал(а):

Вы бы познакомились с каким-то реальным применением топосов к более привычным объектам, что ли...

Я хочу сначала саму идею понять.

В Set (т.е. в обычном матане) мы можем определить blip-функцию:

$$f(x) = \left\{ \begin{array}{rcl} 0& if x \ne 0 \\ 1& if x = 0 & \\ \end{array} \right.$$

Но такую функцию определить в конструктивном анализе не получится. Точнее говоря, попытаться определить функцию формулой выше можно, просто она как минимум не будет определена на всех КДЧ (потому что закона исключенного третьего нету: нельзя сказать, что любое (конструктивное) действительное число либо равно нулю, либо не равно нулю).

Далее я рассуждаю так. А не по той ли же самой причине эту функцию не получиться определить в SIA (Smooth infinitesimal analysis)? Та же самая ведь причина - в тех топосах, которые являются моделями SIA, действует интуиционистская логика, значит закона исключенного третьего нету, значит поделить все числа на равные нулю и не равные нулю нельзя, значит blip-функцию определить нельзя.

Еще одна аналогия. В конструктивном анализе все конструктивные функции непрерывны. Так и SIA они тоже "непрерывны" (там они вообще все бесконечно гладкие). Это не может быть просто совпадением. У меня такое ощущение, что сама теория множеств мешает нормально работать с бесконечно малыми, потому что вынуждает делать все эти "сильно детализированные" теоретико-множественные модели. А может быть лучшая логика для работы с матаном - интуиционистская? А лучшие модели - топосы, отличные от Set? Вот как-то так я размышляю.

[dgwuqtj]

EminentVictorians в сообщении #1690431 писал(а):

А может быть лучшая логика для работы с матаном - интуиционистская? А лучшие модели - топосы, отличные от Set?

Пока не нашлось такого топоса, который был бы очевидно лучше $\textbf{Set}$. Для отдельных задач придумали конденсированную математику, категорию про-множеств $\mathrm{Pro}(\textbf{Set})$ (это не топос, но там есть неплохая внутренняя логика), топосы Гротендика, эффективный топос и кучу всего другого, но они используются как инструменты, а не основания.

[EminentVictorians]

dgwuqtj в сообщении #1690438 писал(а):

Пока не нашлось такого топоса, который был бы очевидно лучше $\textbf{Set}$. Для отдельных задач придумали конденсированную математику, категорию про-множеств $\mathrm{Pro}(\textbf{Set})$ (это не топос, но там есть неплохая внутренняя логика), топосы Гротендика, эффективный топос и кучу всего другого, но они используются как инструменты, а не основания.

Спасибо, это интересно.

dgwuqtj, я бы хотел еще вот какой момент уточнить. В чем вообще цель теорий типа SDG и SIA (второе, я так понимаю, частный случай первой)? Просто обобщить или что-то другое? Потому что мне на данном этапе кажется, что это вообще про другую онтологию математики. Перестать верить в статичные и вечно живущие множества, а значит и в закон исключенного третьего. Вместо Set, где куча множеств и между множествами куча функций, начать работать в топосе, где стрелок меньше и все они обладают хорошими свойствами.

Если просто обобщить, мне тогда это не особо интересно. А вот если идея вокруг того, чтобы язык был более ограниченным, чем обычный теоретико-множественный -- вот это мне бы подошло. Это просто ключевой для меня вопрос, чтобы понять, надо ли мне это все.

(Оффтоп)

Red_Herring в сообщении #1690432 писал(а):

Вот вы развелись с Теорией Множеств. Алименты платить будете?

Она сказала, если мне что-то в ней не нравится, чтобы я шел и искал другой топос.

[Ende]

Юмор отделен в тему «Семейные отношения с теорией множеств»

[dgwuqtj]

EminentVictorians в сообщении #1690464 писал(а):

В чем вообще цель теорий типа SDG и SIA (второе, я так понимаю, частный случай первой)? Просто обобщить или что-то другое?

Я далёк от дифференциальной геометрии, но такое ощущение, что это просто ради большей общности. Есть категория гладких многообразий, она довольно хорошая, но маленькая. И есть штуки, которые в неё не вписываются, например, группы диффеоморфизмов, многообразия с углами и орбифолды. Вот народ и пытается найти, с одной стороны, правильное определение всех таких объектов в максимальной общности, а с другой — просто описать всё аксиоматически (причём есть и другие подходы, например, касательные категории). К конкретным вещам вроде уравнений в частных производных или теории узлов всё это мало применимо.

Какие-то люди развивают и синтетическую алгебраическую геометрию, из их достижений я слышал про вычисление группы автоморфизмов проективного пространства над произвольной базовой схемой. Конечно, там более ограниченный язык, даже логика интуиционистская, и за счёт этого страдает выразительность. И все доказательства с такими формализмами наверняка можно перевести на обычный язык теории множеств, не особо их усложнив.

А ещё, хотя сами теории такого рода про топосы, там скорее всего используются метарассуждения, и не обязательно финитные. Я про метатеоремы в духе "если $f$ автоморфизм, то $f^n$ автоморфизм для любого натурального $n$", тут натуральные числа берутся из метатеории. Так что понятия конечных (и даже счётных) множеств всё ещё нужны.