Что бы найти массу планеты нужно что бы у нее был спутник ?

[UnUk_Al_Hai]

Массу Венеры и Меркурия не могли долго точно определить т.к. у этих планет нету спутника
А зачем он нужен ?Есть третий закон Кеплера
$\frac{T^2(m+M)}{a^3} = \frac{4\pi^2}{G} $
Если $M$ масса Солнца то можно найти массу планеты
Но в учебниках пишут третий закон для отношения вот так:
$\frac{T^2(m+M)}{t_c^2(m+m_c)} = \frac{a^3}{a_c^3} $
И говорят что если у планеты спутников нет то нельзя найти точно ее массу. Почему нельзя найти массу из закона Кеплера по первой формуле ?

Сразу задам еще один вопрос, уже по первому закону Кеплера. Обрывок из параграфа 13 Кононовича,Мороза

Из четности функции косинуса следует, что кривая изображаемая уравнением $r = \frac{p}{1+e\cos\varphi}$ симметрична относительно прямых $\varphi = 0$ и $\varphi = \pi$. Поскольку при $ e < 1$ замена $e$ на $-e$ и $\varphi$ на $\pi - \varphi$ не меняет вида кривой, то в этом случае имеется еще одна ось симметрии, параллельная оси $y$, и следовательно, второй фокус. Линия замкнута и образует эллипс. Его уравнение относительно второго фокуса, очевидно имеет вид $r = \frac{p}{1-e\cos\varphi}$

Почему симметрия есть только при $e < 1$ ? Что вообще представляет собой изменение знака $e$ с точки зрения геометрии? Насколько очевидно, что уравнение относительно второго фокуса имеет вид $r = \frac{p}{1-e\cos\varphi}$ (ну последнее уже скорее всего в учебнике по ангему можно почитать)

[sergey zhukov]

UnUk_Al_Hai
Ну, в двухкомпонетной системе, если масса одного из компонент известна, формально можно найти массу второго. Но по движению спутника планеты можно гораздо точнее определить ее массу, чем пытаясь анализировать движение Солнца под действием этой планеты. Тем более, что солнечная система - многокомпонентная система.

[Mihr]

UnUk_Al_Hai в сообщении #1689806 писал(а):

Если $M$ масса Солнца то можно найти массу планеты

С какой точностью?
Если Вы находите малую величину как разность двух близких больших величин, то получите Вы не то. что Вам реально нужно, а практически погрешность измерения этих самых больших величин в чистом виде.
Конечно, если у Вас есть абсолютно точные данные, то нет разницы, как именно Вы из них получите требуемую величину. А вот если Ваши данные имеют ограниченную точность, то алгоритм, по которому Вы из них получаете что-то ещё, становится принципиально важен.

[drzewo]

UnUk_Al_Hai в сообщении #1689806 писал(а):

А зачем он нужен ?Есть третий закон Кеплера
$\frac{T^2(m+M)}{a^3} = \frac{4\pi^2}{G} $

$a$ -- это по-Вашему что ?

[sergey zhukov]

UnUk_Al_Hai в сообщении #1689806 писал(а):

Почему симметрия есть только при $e < 1$

Не очень понятно. Если мы берем знаменатель в виде $1-e\cos(\varphi)$, то при $abs(e)>1$ имеем гиперболу, это тоже вполне себе симметричная кривая с двумя фокусами. А если берем знаменатель в виде $1+e\cos(\varphi)$, то опять же при $abs(e)>1$ имеем гиперболу.

[UnUk_Al_Hai]

drzewo в сообщении #1689809 писал(а):

$a$ -- это по-Вашему что ?

Большая полуось орбиты.
sergey zhukov

sergey zhukov в сообщении #1689807 писал(а):

чем пытаясь анализировать движение Солнца под действием этой планеты

Я думал этим явлением пренебрегали в таких расчетах

sergey zhukov в сообщении #1689807 писал(а):

Тем более, что солнечная система - многокомпонентная система.

Ну так то и условный Юпитер многокомпонентная

[sergey zhukov]

UnUk_Al_Hai
Если движением Солнца пренебречь, то нельзя найти большую полуось орбиты, от которой и зависит оценка массы планеты. В таком случае получим, что масса планеты может быть любой.

Так массу спутника по движению его вокруг Юпитера тоже определить сложно. А вот массу Юпитера по движению его спутника - легко. Даже в многокомпонентной системе с десятком спутников.

[UnUk_Al_Hai]

sergey zhukov

sergey zhukov в сообщении #1689814 писал(а):

Если движением Солнца пренебречь, то нельзя найти большую полуось орбиты, от которой и зависит оценка масы планеты. В таком случае получим, что масса планеты может быть любой.

Кажется выводы этих формул проводятся в системе относительно Солнца, где оно находиться в фокусе. И измерять тогда большую полуось орбиты не составляет труда.

[drzewo]

(Оффтоп)

Научить человека, который ни черта не понимает еще можно, но, ведь ему сперва придется доказывать, что он ни черта не понимает, а это уже хлопотно.

[sergey zhukov]

UnUk_Al_Hai
Нет, оба компонента вращаются вокруг ЦТ системы. Нужно знать положение ЦТ и расстояния компонентов не друг до друга, а до ЦТ.

Вы же понимаете, что если взять идеально неподвижный центр гравитации (масса которого значительно превышает массу ее спутников), то любая планета вращается вокруг такого центра с периодом, который от массы самой планеты вообще не зависит. Если считать, что гравитационный центр не движется, массу его спутников оценить невозможно.

[UnUk_Al_Hai]

Mihr в сообщении #1689808 писал(а):

Если Вы находите малую величину как разность двух близких больших величин, то получите Вы не то. что Вам реально нужно, а практически погрешность измерения этих самых больших величин в чистом виде.
Конечно, если у Вас есть абсолютно точные данные, то нет разницы, как именно Вы из них получите требуемую величину. А вот если Ваши данные имеют ограниченную точность, то алгоритм, по которому Вы из них получаете что-то ещё, становится принципиально важен.

$\frac{(1+\frac{M}{m})}{(1+\frac{m_c}{m})} = \frac{t_c^2 a^3}{T^2 a_c^3} $

$1+\frac{m_c}{m} \approx 1$

$1+\frac{M}{m}= \frac{t_c^2 a^3}{T^2 a_c^3}$
Отсюда найти массу планеты как я понимаю можно найти с меньшей погрешностью ?

-- 10.06.2025, 16:27 --

UnUk_Al_Hai в сообщении #1689821 писал(а):

оба компонента вращаются вокруг ЦТ системы

Да

sergey zhukov в сообщении #1689819 писал(а):

Нужно знать положение ЦТ и расстояния компонентов не друг до друга, а до ЦТ

Тут, скорее всего не согласен. Ну по крайней мере вывод из Кононовича, Мороза не предполагает этого

-- 10.06.2025, 16:30 --

drzewo в сообщении #1689818 писал(а):

Научить человека, который ни черта не понимает еще можно, но, ведь ему сперва придется доказывать, что он ни черта не понимает, а это уже хлопотно.

Хорошо, я посмотрю еще в другом источнике. Может я действительно не так понимаю

-- 10.06.2025, 16:40 --

sergey zhukov в сообщении #1689819 писал(а):

Вы же понимаете, что если взять идеально неподвижный центр гравитации (масса которого значительно превышает массу ее спутников), то любая планета вращается вокруг такого центра с периодом, который от массы самой планеты вообще не зависит. Если считать, что гравитационный центр не движется, массу его спутников оценить невозможно.

Да. Дело в том что вывод законов Кеплера делается в гелиоцентрической системе координат
$\frac{d \mathbf{v}}{dt} = - \frac{GM}{r^3} \mathbf{v} $
Тут $M = m_1 + m_2$
$\mathbf{v} = \mathbf{v_2} - \mathbf{v_1}$
Соответственно большая полуось берется в этой системе, а не в системе центра масс. Предположении о том что какое-то тело намного больше/меньше при выводе закона Кеплера небыло.

[Mihr]

UnUk_Al_Hai в сообщении #1689821 писал(а):

Отсюда найти массу планеты как я понимаю можно найти с меньшей погрешностью ?

Да.

[sergey zhukov]

UnUk_Al_Hai
Для двойной системы с массами $M_1$ и $M_2$, периодом обращения $T$ и расстоянием от $M_1$ до ЦТ, равным $a_1$, можно записать:

$$\frac{M_2^3}{(M_1+M_2)^2}=\frac{4\pi^2a_1^3}{GT^2}$$

Отсюда видно, что нужно знать $a_1$, чтобы зная $M_2$ найти $M_1$. (Здесь считаем, что $M_1<<M_2$, т.е. в пределе $M_1+M_2=M_2$).

Большая полуось орбиты двойной системы равна $a_1+a_2$. На ее слабом отличии от $a_1$ и может работать метод определения массы планеты по ее движению вокруг Солнца.

[drzewo]

Пусть $r_m,r_M$ -- радиус-векторы планеты массы $m$ и солнца массы $M$ в какой-нибудь инерциальной системе.
Запишем уравнения движения:

$$m\ddot r_m=-\gamma Mm\frac{r_m-r_M}{|r_m-r_M|^3},\quad M\ddot r_M=-\gamma Mm\frac{r_M-r_m}{|r_m-r_M|^3}.$$

Вычтем из первого уравнения второе:

$$\ddot \rho=-\gamma(M+m)\frac{\rho}{|\rho|^3},\quad \rho=r_m-r_M.$$

Отсюда видно, что точка с радиус-век тором $\rho$ торчащим из $M$ и указывающим на $m$ движется как материальная точка единичной массы в поле притягивающего центра.
В системе координат начало которой совпадает с $M$ и осями параллельными осям инерциальной системы, данная точка движется по эллипсу в одном из фокусов которого находится солнце.
Третий закон Кеплера для нее пишется так:

$$\frac{4\pi^2}{\gamma (M+m)}=\frac{\tau^2}{a^3}.$$

Здесь $a$ -- это действительно большая полуось указанного эллипса.

UnUk_Al_Hai
приношу Вам свои извинения.

[UnUk_Al_Hai]

sergey zhukov в сообщении #1689824 писал(а):

$$\frac{M_2^3}{(M_1+M_2)^2}=\frac{4\pi^2a_1^3}{GT^2}$$

Этой формулы я не знаю. Где я могу про нее почитать?

Просто мне кажется, что у Вас вся аргументация сводиться к тому что мы можем определить большую полуось только с погрешностью. Но эта погрешность в реальности же небольшая.
Причина, указанная выше, что ошибка в массе Солнца порядка массы планеты кажется более логичной