Cross-cap (кросс-шапочка, кросс-колпачек)

[gogoshik]

Помогите разобраться с определением и пониманием "кросс-кепки" (если на русском, то синонимов много) поверхности. Хотел бы найти описание этой штуки на русском, но что-то кроме Наглядной топологии Болтянского толком ничего не нашел. Там он говорит о крышечках (шапочках), которыми можно заклеивать дырки поверхности. Но это обычное заклеивание диском дырки. Может быть у Фоменко можно что то нарыть, но пока не смотрел. Как вообще я понял, то "кросс-кеп" геометрически - это такая особенность (сингулярность), например, на 2-мерной поверхности, которая получается заклеиванием дырки поверхности лентой Мёбиуса или штукой гомеоморфной ленте Мёбиуса. Это эквивалентно тому, если мы возьмем ленту Мёбиуса и заклеим её 2-мерным диском. Не знаю, насколько это правильно. Что-то более осмысленного я так и не понял.

[manul91]

Простейшее описание cross-cap, это "заклеивание дырки" на двумерной поверхности через топологию проективной плоскости (это другими словами, но та же самая топология получается если заткнуть через лентой Мебиуса - у которой только одна граница топологии круга, которая приклеивается к границе дырки).

Для большей наглядности, например если дырка имеет форму круга - то топологически отождествлены противоположные точки границы дырки, по обоим концам диаметра.
Т.е. если "плоскатик" идя по поверхности, "подходит" к дырку в окрестности границы $P$, то "сразу выходит" из окрестности противоположной точки границы $P'$ (при этом легко увидеть, что при этом он будет менять ориентацию - например если представить что у "плоскатика" Г-образная форма, и проследить где будут "появляться" по другой стороне соответствующие точки).
(описание выше, соответствует "заклеиванием" лентой Мебиуса исчезающе малой ширины)

Разумеется такую склейку, нельзя вложить в 3d без самопересечений (наподобии бутылки Клейна).

Вот здесь примерное видео (разница только в том что на видео через cross-cap "заклеивается" дырка на сфере а не на открытой поверхности; но "шапочка" одна и та же); здесь есть то же самое для заклеивания дырки на поверхности.

[dgwuqtj]

gogoshik в сообщении #1689785 писал(а):

Как вообще я понял, то "кросс-кеп" геометрически - это такая особенность (сингулярность)

Так думать неправильно. При вклеивании ленты Мёбиуса никаких особых точек не образуется, будет всё равно топологическое многообразие. Просто изменяются глобальные свойства поверхности.

Может, сразу разобраться с чуть более общим понятием склейки поверхности из многоугольников? Например, Борисович, Введение в топологию, §II.4. Это много где написано.

[gogoshik]

Хорошо. Спасибо!