Обобщение теоремы Пифагора

[Gordmit]

Пусть одна из вершин $n$-мерного симплекса такова, что все прилежащие к ней углы - прямые. Доказать, что если $V_i$, $i=1,2,\ldots,n$ - объемы прилежащих к ней $(n-1)$-мерных граней, а $V$ - объем оставшейся (противолежащей) грани, то

$$V_1^2+V_2^2+\ldots+V_n^2=V^2.$$

[zoo]

Gordmit писал(а):

Пусть одна из вершин $n$-мерного симплекса такова, что все прилежащие к ней углы - прямые. Доказать, что если $V_i$, $i=1,2,\ldots,n$ - объемы прилежащих к ней $(n-1)$-мерных граней, а $V$ - объем оставшейся (противолежащей) грани, то

$$V_1^2+V_2^2+\ldots+V_n^2=V^2.$$

Формула классическая
Вроде можно попробовать так. Использовать, тот факт, что $V^2$ это определитель матрицы Грамма $G$ векторов, на которые натянут симплекс, деленный на $(n!)^2$: $V^2=\frac{|G|}{(n!)^2}$. Матрица Грамма получается умножением матрицы составленной из координат этих векторов, скажем $A$ на себя транспонированную: $G=AA^T$ Далее $|G|=|A|^2$ остается разложить последний определитель по строке (или столбцу смотря как писали туда координаты векторов) возвести в квадрат и получить искомую формулу. При возведении в квадрат там должно многое посокращаться по лемме о фальшивом разложении определеителя
Замечание: рассуждения проводились в ортонормированной системе координат.

[TOTAL]

Gordmit писал(а):

Пусть одна из вершин $n$-мерного симплекса такова, что все прилежащие к ней углы - прямые. Доказать, что если $V_i$, $i=1,2,\ldots,n$ - объемы прилежащих к ней $(n-1)$-мерных граней, а $V$ - объем оставшейся (противолежащей) грани, то

$$V_1^2+V_2^2+\ldots+V_n^2=V^2.$$

Формула сразу следует из легко получаемого соотношения $\displaystyle \frac{1}{h^2}=\frac{1}{a_1^2}+ \cdots + \frac{1}{a_n^2}$,
где $h$ - высота симплекса, опущенная из вершины с прямыми углами, $a_i$ - рёбра, прилегающие к этой вершине.